1. Partindo da função de partição canônica do gás ideal monoatômico clássico,
Z=1N!(2 pi mbeta h^2)^3 N / 2 V^N,
determine o calor específico cV e lei dos gases ideais, p v=kB T.

Passo 1

Temos a função de partição canônica do gás ideal monoatômico clássico dada por
Z = 1N!l(2pi mbeta h^2r)^3N/2V^N,
onde beta=1/(kBT). O conteúdo envolve mecânica estatística e termodinâmica; vamos usar essa partição para obter a energia livre de Helmholtz, a pressão (de onde vem a lei dos gases) e a energia interna (para achar o calor específico a volume constante).

Passo 2

Calculamos a energia livre de Helmholtz com
F = -1betaln Z
Substituindo Z obtemos
F = -1betal[-ln(N!) + 3N2lnl(2pi mbeta h^2r) + Nln Vr]
Como ln(N!) não depende de V, ele não afeta o cálculo da pressão.

Passo 3

A pressão sai da derivada de F em relação a V a temperatura constante:
p = -l(partial Fpartial Vr)T
Da expressão de F vemos que só Nln V depende de V, logo
p = Nbeta V = N kBTV
Definindo o volume específico v=V/N, chega-se a
p,v = kBT,
a lei dos gases ideais microscópica.

Passo 4

A energia interna média é dada por
U = -partial ln Zpartial beta
Na expressão de ln Z, apenas
tfrac3N2ln(2pi m/(beta h^2))
depende de beta. Derivando,
U = 3N21beta = 3N2kBT
Isso reflete o teorema de equipartição ( tfrac12 kBT por grau de liberdade).

Passo 5

O calor específico a volume constante total é
CV = l(partial Upartial Tr)V = 3N2kB
O calor específico por partícula (específico) fica
cV = CVN = 32kB

Resposta

O calor específico a volume constante é cV=tfrac32kB, e a lei dos gases ideais é p,v=kBT.

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