1. Usando o ensemble canônico, determine a entropia s(T) do Sólido de Einstein e com essa função o calor específico, mostrando que este é compatível com resultado obtido com o ensemble microcanônico.

Passo 1

Estamos lidando com o sólido de Einstein no ensemble canônico. Precisamos usar a função de partição canônica para N osciladores independentes de frequência ω, obter a energia livre de Helmholtz F(T), daí calcular a entropia s(T)=−(∂F/∂T)_V e depois o calor específico C_V, conferindo que bate com o que vem do ensemble microcanônico.

Passo 2

Para um oscilador quântico no sólido de Einstein, os níveis de energia são E_n=ħω(n+½). A função de partição de um oscilador é
z1=sumn=0^inftye^-beta,ħω(n+1/2)=e^-betaħω/2sumn=0^inftyl(e^-betaħωr)^n=e^-betaħω/21-e^-betaħω ħħħħħ
Para N osciladores independentes temos Z=z_1^N.

Passo 3

A partir de Z construímos a energia livre de Helmholtz:
F=-kBTln Z=-NkBTln z1=-NkBTl(-ħω2kBT-lnl(1-e^-betaħωr)r) ħħ
Organizando,
F=Nħω2+NkBTlnl(1-e^-betaħωr) ħħ

Passo 4

A entropia no ensemble canônico é
s(T)=-l(partial Fpartial Tr)V
Fazendo a derivada de F em relação a T encontramos
s(T)=NkBl[betaħωe^betaħω-1-lnl(1-e^-betaħωr)r], ħħħ
onde beta=1/(kBT).

Passo 5

Para obter o calor específico fazemos
CV=partialpartial Tl(U(T)r)V,
ou seja usamos
U=-partialln Zpartialbeta=Nħωl(12+1e^betaħω-1r) ħħ
Derivando em T resulta
CV=NkBl(ħωkBTr)^2e^hbarω/(kBT)l(e^hbarω/(kBT)-1r)^2 ħ

Passo 6

No ensemble microcanônico, ao calcular s(E) para E=Nħω(½+1/(e^{\betaħω}-1)) e derivar para achar C_V, obtém-se exatamente a mesma expressão acima, mostrando a equivalência entre os dois ensembles no limite termodinâmico.

Resposta

Entropia do sólido de Einstein no ensemble canônico:
s(T)=NkBl[hbarω/(kBT)e^hbarω/(kBT)-1-lnl(1-e^-hbarω/(kBT)r)r]
Calor específico resultante:
CV=NkBl(hbarωkBTr)^2e^hbarω/(kBT)l(e^hbarω/(kBT)-1r)^2,
que coincide com o obtido no ensemble microcanônico.

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