- Usando o ensemble canônico, determine a entropia
do Sólido de Einstein e com essa função o calor específico, mostrando que este é compatível com resultado obtido com o ensemble microcanônico.
Passo 1
Estamos lidando com o sólido de Einstein no ensemble canônico. Precisamos usar a função de partição canônica para N osciladores independentes de frequência ω, obter a energia livre de Helmholtz F(T), daí calcular a entropia s(T)=−(∂F/∂T)_V e depois o calor específico C_V, conferindo que bate com o que vem do ensemble microcanônico.
Passo 2
Para um oscilador quântico no sólido de Einstein, os níveis de energia são E_n=ħω(n+½). A função de partição de um oscilador é
Para N osciladores independentes temos Z=z_1^N.
Passo 3
A partir de Z construímos a energia livre de Helmholtz:
Organizando,
Passo 4
A entropia no ensemble canônico é
Fazendo a derivada de F em relação a T encontramos
onde
.
Passo 5
Para obter o calor específico fazemos
ou seja usamos
Derivando em T resulta
Passo 6
No ensemble microcanônico, ao calcular s(E) para E=Nħω(½+1/(e^{\betaħω}-1)) e derivar para achar C_V, obtém-se exatamente a mesma expressão acima, mostrando a equivalência entre os dois ensembles no limite termodinâmico.
Resposta
Entropia do sólido de Einstein no ensemble canônico:
Calor específico resultante:
que coincide com o obtido no ensemble microcanônico.