- Para um sistema com dois níveis de energia
usando o ensemble canônico, determine a energia livre de Helmholtz,
. Verifique se a função
encontrada satisfaz a terceira lei da termodinâmica.
Passo 1
A gente tem um sistema com dois níveis de energia
e
. O enunciado pede a energia livre de Helmholtz
, a energia interna média
e a entropia
, usando o ensemble canônico. Para isso, vamos precisar lembrar que no ensemble canônico usamos o fator de Boltzmann
com
, definimos a função partição
e então extraímos
via derivadas.
Passo 2
A primeira etapa é montar a função partição. Ela é dada por
Passo 3
Com
em mãos, a energia livre de Helmholtz
no ensemble canônico é
Passo 4
A energia interna média
é dada por
Passo 5
A entropia
pega-se de
ou diretamente por
Passo 6
Para verificar a terceira lei, olhamos
(logo
). Então
, fica
,
e
Logo a entropia vai a zero no zero absoluto, conforme a terceira lei.
Resposta
F(T)=-kT\ln\bigl(1+e^{-\varepsilon/(kT)}\bigr),\quad u(T)=\frac{\varepsilon}{1+e^{\varepsilon/(kT)}},\quad s(T)=k\Bigl[\ln\bigl(1+e{-\varepsilon/(kT)}\bigr)+\frac{\varepsilon/(kT)}{1+e{\varepsilon/(kT)}}\Bigr]