1. Para um sistema com dois níveis de energia
E= ll 0 varepsilon ,
usando o ensemble canônico, determine a energia livre de Helmholtz, s(T), u(T). Verifique se a função s(T) encontrada satisfaz a terceira lei da termodinâmica.

Passo 1

A gente tem um sistema com dois níveis de energia 0 e varepsilon. O enunciado pede a energia livre de Helmholtz F(T), a energia interna média u(T) e a entropia s(T), usando o ensemble canônico. Para isso, vamos precisar lembrar que no ensemble canônico usamos o fator de Boltzmann e^-beta E com beta=1/(kT), definimos a função partição Z e então extraímos F,u,s via derivadas.

Passo 2

A primeira etapa é montar a função partição. Ela é dada por
Z=sumi e^-beta Ei=e^-betacdot0+e^-betavarepsilon=1+e^-betavarepsilon

Passo 3

Com Z em mãos, a energia livre de Helmholtz F no ensemble canônico é
F=-kTln Z=-kTlnl(1+e^-betavarepsilonr)

Passo 4

A energia interna média u é dada por
u=-partialpartialbetaln Z=varepsilon,e^-betavarepsilon1+e^-betavarepsilon=varepsilon1+e^betavarepsilon

Passo 5

A entropia s pega-se de
s=-l(partial Fpartial Tr)V
ou diretamente por
s=kl(ln Z+beta ur)=kl[lnl(1+e^-betavarepsilonr)+betavarepsilon1+e^betavarepsilonr]

Passo 6

Para verificar a terceira lei, olhamos Tto0 (logo betatoinfty). Então e^-betavarepsilonto0, fica Zto1, uto0 e
sto k[ln1+0]=0
Logo a entropia vai a zero no zero absoluto, conforme a terceira lei.

Resposta

F(T)=-kT\ln\bigl(1+e^{-\varepsilon/(kT)}\bigr),\quad u(T)=\frac{\varepsilon}{1+e^{\varepsilon/(kT)}},\quad s(T)=k\Bigl[\ln\bigl(1+e{-\varepsilon/(kT)}\bigr)+\frac{\varepsilon/(kT)}{1+e{\varepsilon/(kT)}}\Bigr]

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