A velocidade de escape de um corpo celeste é a mínima velocidade que um objeto deve ter nas proximidades da superfície desse corpo para escapar de sua atração gravitacional. Com base nessa informação e em seus conhecimentos sobre a interpretação cinética da temperatura, considere as seguintes afirmações a respeito da relação entre a velocidade de escape e a atmosfera de um corpo celeste.
I. Corpos celestes com mesma velocidade de escape retêm atmosferas igualmente densas, independentemente da temperatura de cada corpo.
II. Moléculas de gás nitrogênio escapam da atmosfera de um corpo celeste mais facilmente do que moléculas de gás hidrogênio.
III. Comparando corpos celestes com temperaturas médias iguais, aquele com a maior velocidade de escape tende a reter uma atmosfera mais densa.
Apenas é correto o que se afirma em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
I. Corpos celestes com mesma velocidade de escape retêm atmosferas igualmente densas, independentemente da temperatura de cada corpo.
II. Moléculas de gás nitrogênio escapam da atmosfera de um corpo celeste mais facilmente do que moléculas de gás hidrogênio.
III. Comparando corpos celestes com temperaturas médias iguais, aquele com a maior velocidade de escape tende a reter uma atmosfera mais densa.
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
-
O enunciado apresenta três afirmações sobre a relação entre velocidade de escape e retenção de atmosfera e pede que se identifique quais são verdadeiras:
I. Corpos celestes com mesma velocidade de escape retêm atmosferas igualmente densas, independentemente da temperatura de cada corpo.
II. Moléculas de gás nitrogênio escapam da atmosfera de um corpo celeste mais facilmente do que moléculas de gás hidrogênio.
III. Comparando corpos celestes com temperaturas médias iguais, aquele com a maior velocidade de escape tende a reter uma atmosfera mais densa. -
Objetivo: decidir quais das afirmações são corretas e, portanto, escolher a alternativa correta entre (a) a (e).
Passo 2
Definição e fórmula da velocidade de escape. Vou explicar de onde vem e o que cada símbolo significa.
- Conceito: a velocidade de escape é a velocidade mínima que um corpo precisa, na superfície, para que sua energia cinética supere a energia potencial gravitacional do corpo celeste, sem levar em conta resistências (ar) nem perda de energia por outros meios.
- Derivação e fórmula: iguala-se energia cinética inicial à energia potencial gravitacional (tomando referência infinito com energia zero):
Aqui:
-
é a massa do objeto que tenta escapar (cancela na equação); -
é a velocidade de escape; -
é a constante gravitacional universal; -
é a massa do corpo celeste; -
é o raio do corpo celeste. - Isolando
:
Esta fórmula mostra que
depende de
e
do corpo, e não depende da massa da molécula que tenta escapar.
Passo 3
Interpretação cinética da temperatura e velocidade típica das moléculas (essencial para entender retenção atmosférica).
- Na teoria cinética dos gases, as moléculas têm uma distribuição de velocidades (distribuição de Maxwell). Uma medida útil é a velocidade quadrática média (root-mean-square):
onde:
-
é a velocidade quadrática média das moléculas; -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura absoluta média da atmosfera (em kelvin); -
é a massa de uma molécula (em kg). - Observações importantes:
- Para uma dada temperatura
, moléculas mais leves (menor ) têm maior. - A distribuição de Maxwell tem uma “cauda”: sempre existe uma fração de moléculas com velocidade muito maior que
. Essas moléculas na cauda podem superar e escapar ao longo do tempo.
- Para uma dada temperatura
- Regra prática de retenção: se
for muito maior que (por exemplo, como regra de bolso), o gás tende a ser retido por longos períodos; se é comparável a , escape significativo ocorre.
Passo 4
Aplicando as fórmulas para analisar qualitativamente a retenção atmosférica.
- A capacidade de um corpo reter um dado tipo de molécula depende de dois fatores principais:
- A sua velocidade de escape
. - A velocidade térmica das moléculas
, que depende de e da massa molecular .
- A sua velocidade de escape
- Consequência: dois corpos com igual
podem reter atmosferas de densidades diferentes se suas temperaturas médias forem diferentes, porque temperaturas maiores aumentam e favorecem o escape. Portanto a retenção NÃO é determinada só por .
Passo 5
Análise detalhada da afirmação I.
- Afirmação I: “Corpos celestes com mesma velocidade de escape retêm atmosferas igualmente densas, independentemente da temperatura de cada corpo.”
- Usando os conceitos acima: retenção depende de
e de . Dois corpos com mesma mas temperaturas diferentes terão valores diferentes de para as mesmas moléculas; o corpo mais quente terá uma fração maior de moléculas capazes de superar e perderá atmosfera mais facilmente. - Conclusão sobre I: é falsa.
Passo 6
Análise detalhada da afirmação II com comparação numérica entre H2 e N2.
- Afirmação II: “Moléculas de gás nitrogênio escapam da atmosfera de um corpo celeste mais facilmente do que moléculas de gás hidrogênio.”
- Compare massas molares aproximadas:
- Para
: massa molecular . - Para
: massa molecular .
(ondeé a unidade de massa atômica).
- Para
- Relação das velocidades térmicas em mesma temperatura
:
- Interpretação: a
tem velocidade térmica típica cerca de vezes maior que à mesma temperatura, logo as moléculas de hidrogênio alcançam mais facilmente e escapam com muito mais facilidade que o nitrogênio. - Conclusão sobre II: a afirmação está invertida — é o hidrogênio que escapa mais facilmente. Portanto II é falsa.
Passo 7
Análise detalhada da afirmação III.
- Afirmação III: “Comparando corpos celestes com temperaturas médias iguais, aquele com a maior velocidade de escape tende a reter uma atmosfera mais densa.”
- Se
é o mesmo, para um dado tipo de molécula é o mesmo em ambos. A diferença é . Quanto maior em relação a , menor a fração da distribuição de Maxwell que tem velocidade superior a . Assim, escape térmico acontece muito mais lentamente ou é praticamente inexistente quando é maior. - Portanto, para temperaturas iguais, um corpo com maior
tende a reter uma atmosfera mais densa e por mais tempo. - Conclusão sobre III: verdadeira.
Passo 8
Resumo final das verdades das afirmações.
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Resposta
c)