A partir da distribuição de Maxwell, estime a fração de moléculas de N_{2} que, a 500 K , têm velocidades no intervalo de 290 a 300 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}. Considere como aproximação que o intervalo de velocidades é pequeno, de modo que a função de distribuição é aproximadamente constante no intervalo, e utilize o valor do centro do intervalo.

Passo 1

O enunciado pede a fração de moléculas de N_{2} a T=500\\ \mathrm{K} que têm velocidades entre 290 e 300\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}. Vamos usar a distribuição de Maxwell para velocidades e a aproximação de que, nesse intervalo pequeno \Delta v=10\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}, a densidade de probabilidade é constante e pode ser avaliada no ponto médio v_{0}=295\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Passo 2

A densidade de probabilidade do módulo da velocidade v é dada por
f(v) = 4\pi \Biggl(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\Biggr)^{3/2} v^{2} \exp\!\Bigl(-\frac{m\,v^{2}}{2k_{B}T}\Bigr),
onde m é a massa de uma molécula de N_{2} e k_{B} é a constante de Boltzmann. A fração no intervalo [v_{0}-\Delta v/2,\;v_{0}+\Delta v/2] fica aproximada por
\text{fração} \approx f(v_{0})\,\Delta v.çã

Passo 3

A massa de uma molécula de N_{2} vale
m = \frac{M}{N_{A}} = \frac{28\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}}{6{,}02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx 4{,}65\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Calculamos também o parâmetro
\alpha = \frac{m}{2\pi k_{B}T} \quad\Longrightarrow\quad \alpha \approx \frac{4{,}65\times10^{-26}}{2\pi\,(1{,}38\times10^{-23})\,(500)} \approx1{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{(s^{2}/m^{2})}.

Passo 4

O fator de normalização (prefator) é
A = 4\pi\,\alpha^{3/2} = 4\pi\,(1{,}07\times10^{-6})^{3/2} \approx1{,}46\times10^{-8}\\ \mathrm{s/m}.

Passo 5

Em v_{0}=295\\ \mathrm{m/s} temos
v_{0}^{2}=8{,}7025\times10^{4}\quad,\quad \frac{m\,v_{0}^{2}}{2k_{B}T} =\frac{m}{2k_{B}T}v_{0}^{2} \approx0{,}2934 \quad\Longrightarrow\quad \exp(-0{,}2934)\approx0{,}745.
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f(v_{0}) = A\,v_{0}^{2}\,\exp\Bigl(-\tfrac{m\,v_{0}^{2}}{2k_{B}T}\Bigr) \approx 1{,}46\times10^{-8}\times8{,}7025\times10^{4}\times0{,}745 \approx9{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{(s/m)}.
Multiplicando por \Delta v=10\\ \mathrm{m/s}, a fração é
\text{fração} \approx 9{,}5\times10^{-4}\times10 = 9{,}5\times10^{-3}.çã

Resposta

A fração de moléculas de N_{2} com velocidades entre 290 e 300\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} a 500 K é aproximadamente
9,5\times10^{-3}
(o que corresponde a cerca de 0,95 %).

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