A partir da equação da difusão, chegue nas expressões de resistência para a parede plana, o casca cilíndrica e casca esférica, escreva as hipóteses adotadas.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da equação da difusão em regime estacionário, obter as expressões de resistência térmica para três geometrias: parede plana, casca cilíndrica e casca esférica. Vamos usar:
– Equação da difusão estacionária (sem termo de geração interna)
\nabla^2 T = 0
– Lei de Fourier unidimensional
q = -k\,A\,\frac{dT}{dx_{\text{geom}}}
Hipóteses adotadas: estado estacionário \partial T/\partial t=0, condutividade térmica constante ( k constante), material homogêneo e isotrópico, sem geração interna de calor, condução unidimensional na direção relevante e sem trocas convectivas ou radiativas nas superfícies durante a condução.

Passo 2

Para a parede plana de espessura L e área de seção transversal A, a equação \nabla^2 T=0 reduz-se a
\frac{d^2 T}{dx^2} = 0
Integrando duas vezes, T(x) é linear em x. Impomos T(0)=T_1 e T(L)=T_2. A derivada é
\frac{dT}{dx} = \frac{T_2 - T_1}{L}
Pela lei de Fourier, o fluxo é
q = -k\,A\,\frac{T_2 - T_1}{L} = k\,A\,\frac{T_1 - T_2}{L}.
Definindo resistência térmica R por \Delta T = q\,R, obtemos
R_{\text{plana}} = \frac{L}{k\,A}.

Passo 3

Para a casca cilíndrica de raio interno r_1, externo r_2 e comprimento L, a equação radial é
\frac{1}{r}\,\frac{d}{dr}\!\bigl(r\,\frac{dT}{dr}\bigr) = 0.
Integrando, r\,dT/dr = C_1 e depois T = C_1 \ln r + C_2. Com T(r_1)=T_1 e T(r_2)=T_2, encontra-se
\frac{dT}{dr} = \frac{T_2 - T_1}{\ln(r_2/r_1)}\,\frac{1}{r}.
A área de condução em r é A(r)=2\pi r L. Logo o fluxo é
q = -k\,2\pi r L\,\frac{T_2 - T_1}{\ln(r_2/r_1)}\,\frac{1}{r} = \frac{2\pi k L\,(T_1 - T_2)}{\ln(r_2/r_1)}.
Assim
R_{\text{cil}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}.

Passo 4

Para a casca esférica de raios r_1 e r_2, a equação radial é
\frac{1}{r^2}\,\frac{d}{dr}\!\bigl(r^2\,\frac{dT}{dr}\bigr) = 0.
Integramos: r^2\,dT/dr = C_1 e depois T = -C_1/r + C_2. Com T(r_1)=T_1 e T(r_2)=T_2, obtém-se
\frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r^2},\quad C_1 = \frac{T_1 - T_2}{\tfrac{1}{r_1}-\tfrac{1}{r_2}}.
A área é A(r)=4\pi r^2, então
q = -k\,4\pi r^2\,\frac{C_1}{r^2} = 4\pi k\,\frac{T_1 - T_2}{\tfrac{1}{r_1}-\tfrac{1}{r_2}}.
Logo
R_{\text{sph}} = \frac{\tfrac{1}{r_1}-\tfrac{1}{r_2}}{4\pi k}.

Resposta

R_{\text{plana}} = \dfrac{L}{k\,A} R_{\text{cil}} = \dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L} R_{\text{sph}} = \dfrac{\tfrac{1}{r_1}-\tfrac{1}{r_2}}{4\pi k}

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