1. A partir da medida de corrente, tensão e potência ativa de uma determinada carga pretende-se obter o fator de potência da carga. Considerando que os valores medidos e suas respectivas incertezas são: 2,50 \mathrm{A} \pm 25 \mathrm{~mA}, 115 \mathrm{~V} \pm 1,25 \mathrm{~V}, 220 \mathrm{~W} \pm 5 \mathrm{~W}. Calcule o fator de potência e o limite de erro na determinação de seu valor.

Passo 1

O enunciado fornece as medidas da carga e pede que se calcule o fator de potência e o limite de erro (incerteza) do seu valor. Os dados fornecidos são (peguei estes valores do enunciado):
  • Corrente: I = 2,50\\ \mathrm{A} \pm 25\\ \mathrm{mA}. Observação: 25\\ \mathrm{mA} = 0,025\\ \mathrm{A}.
  • Tensão: V = 115\\ \mathrm{V} \pm 1,25\\ \mathrm{V}.
  • Potência ativa: P = 220\\ \mathrm{W} \pm 5\\ \mathrm{W}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o fator de potência da carga.
  • Calcular o limite de erro (incerteza) na determinação desse fator de potência.

Passo 2

Definição e fórmula do fator de potência. O fator de potência é a razão entre a potência ativa e a potência aparente. Para uma carga em corrente alternada, a potência aparente é V I (tensão eficaz vezes corrente eficaz). Assim a fórmula que usamos é
\text{FP}=\frac{P}{V I}.
Aqui:
  • P é a potência ativa medida (em watts).
  • V é a tensão eficaz (em volts).
  • I é a corrente eficaz (em ampères).
    O objetivo é avaliar \text{FP} e sua incerteza a partir das incertezas de P,\\ V,\\ I.

Passo 3

Cálculo do valor nominal do fator de potência (usando os valores médios). Primeiro calculo V I:
V I = 115 \cdot 2,50 = 287,5\\ \mathrm{VA}.
Agora calculo a razão
\text{FP} = \frac{220}{287,5}.
Faço a divisão (detalhe de conta para fazer sem calculadora: 287,5 cabe em 220 cerca de 0,76 vezes; aqui uso divisão longa ou calculadora para obter precisão):
\text{FP} \approx 0,765217\ldots
(este é o valor nominal antes de considerar incertezas).

Passo 4

Estratégia para propagar incertezas (explicação didática). Quando uma quantidade é dada por produto ou quociente de medidas independentes, uma forma prática de obter a incerteza relativa é trabalhar com logaritmos: se
\text{FP}=\frac{P}{V I},
então tomando logaritmo natural:
\ln(\text{FP})=\ln P - \ln V - \ln I.
Diferenciando (ou aproximando variações relativas pequenas),
\frac{\delta \text{FP}}{\text{FP}} \approx \frac{\delta P}{P} \oplus \frac{\delta V}{V} \oplus \frac{\delta I}{I},
onde o símbolo \oplus indica combinação estatística das incertezas relativas independentes por soma quadrática (ou seja, raiz quadrada da soma dos quadrados), porque assumimos que os erros são independentes e pequenos. Portanto a incerteza relativa de \text{FP} é
\frac{u_{\text{FP}}}{\text{FP}} = \sqrt{\left(\frac{u_P}{P}\right)^2 + \left(\frac{u_V}{V}\right)^2 + \left(\frac{u_I}{I}\right)^2 }.
Aqui u_P,\\ u_V,\\ u_I são as incertezas absolutas de P,\\ V,\\ I respectivamente, e u_{\text{FP}} é a incerteza absoluta do fator de potência. Esta fórmula vem diretamente da propagação de incertezas para produtos/quotientes e é muito útil em provas porque evita calcular derivadas parciais explicitamente.

Passo 5

Calcular as incertezas relativas individuais (mostrando contas). As incertezas dadas são:
u_P=5\\ \mathrm{W},\qquad u_V=1,25\\ \mathrm{V},\qquad u_I=0,025\\ \mathrm{A}.
Agora as incertezas relativas:
\frac{u_P}{P}=\frac{5}{220}= \frac{1}{44}\approx 0,022727\ldots
\frac{u_V}{V}=\frac{1,25}{115}\approx 0,0108696\ldots
\frac{u_I}{I}=\frac{0,025}{2,50}=0,010.

Passo 6

Combinar as incertezas relativas pela soma quadrática. Calculo passo a passo:
\left(\frac{u_P}{P}\right)^2 \approx 0,022727^2 \approx 0,00051653,
\left(\frac{u_V}{V}\right)^2 \approx 0,0108696^2 \approx 0,00011812,
\left(\frac{u_I}{I}\right)^2 = 0,01^2 = 0,0001.
Somando:
0,00051653 + 0,00011812 + 0,0001 = 0,00073465\\ (\text{aprox.}).
A raiz quadrada dá a incerteza relativa combinada:
\frac{u_{\text{FP}}}{\text{FP}} = \sqrt{0,00073465}\approx 0,027108\ldots
Isto equivale a cerca de 2,71\% de incerteza relativa.

Passo 7

Calcular a incerteza absoluta u_{\text{FP}} e apresentar o resultado com arredondamento razoável. Usamos
u_{\text{FP}} = \text{FP}\cdot \frac{u_{\text{FP}}}{\text{FP}}.
Substituindo os valores numéricos (uso o valor nominal de \text{FP} calculado no Passo 3):
u_{\text{FP}} \approx 0,765217\cdot 0,027108 \approx 0,02076\ldots
Arredondando a incerteza para dois algarismos significativos (prática comum) obtemos u_{\text{FP}}\approx 0,021. Ao reportar a grandeza com sua incerteza, ajustamos o valor central com a mesma precisão decimal da incerteza. Assim o valor do fator de potência fica com três casas decimais:
\text{FP} \approx 0,765 \pm 0,021.

Resposta

Fator de potência: 0,765\nIncerteza absoluta (limite de erro): \pm 0,021

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