A partir de um oscilador senoidal de 1 kHz projete um oscilador de onda triangular, um oscilador de onda quadrada e um circuito PWM de mesma frequência.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (assunções feitas porque o enunciado não especificou amplitude nem tensões de alimentação):
  • Dado: um oscilador senoidal com frequência f=1\\ \mathrm{kHz}. Vou chamar essa tensão de entrada de v_{\mathrm{sin}}(t)=V_{p,\mathrm{sin}}\sin(2\pi f t).
  • Pedido: projetar (a) um oscilador de onda triangular com f=1\\ \mathrm{kHz}, (b) um oscilador de onda quadrada com f=1\\ \mathrm{kHz} e (c) um circuito PWM com a mesma frequência.
  • Assunções práticas (escolhas razoáveis para projetar sem informação extra):
    • Alimentação dos amplificadores/comparadores: \pm 12\\ \mathrm{V}.
    • Amplitude do seno gerado: vou assumir V_{p,\mathrm{sin}}=5\\ \mathrm{V} (ou seja, 10\\ \mathrm{V_{pp}}). Se a sua fonte tiver outra amplitude, eu mostro como ajustar ganhos.
    • Desejo para a onda triangular: pico a pico \,V_{\mathrm{tri,pp}}=16\\ \mathrm{V} (ou seja, \pm 8\\ \mathrm{V}), que é compatível com alimentação \pm12\\ \mathrm{V}.
    • O comparador que gera a onda quadrada irá saturar aproximadamente nas rails \pm 12\\ \mathrm{V}. Vou chamar a amplitude do quadrado de V_{\mathrm{sq}}=\pm 12\\ \mathrm{V}.
  • O plano prático (resumido; a explicação vem nos próximos passos):
    1. Gerar onda quadrada a partir do seno com um comparador (zero-crossing).
    2. Integrar essa onda quadrada com um integrador ideal (op-amp) para obter a onda triangular. Dimensionar R e C do integrador para que, com V_{\mathrm{sq}} e f, a triangular tenha o pico a pico desejado.
    3. Fazer PWM comparando a onda triangular (portadora) com o seno (sinal de modulação). Ajustar ganho do seno para usar toda a amplitude da triangular (melhor resolução de PWM).

Passo 2

Gerador de onda quadrada a partir do seno: conceito e circuito básico.
  • Conceito: um comparador produz um nível alto sempre que o sinal de entrada é maior que uma referência e nível baixo caso contrário. Para transformar um seno em quadrada de mesma frequência usa-se uma referência de zero (zero-crossing comparator): o comparador muda de estado quando v_{\mathrm{sin}}(t)=0, logo a frequência do quadrado será exatamente a do seno.
  • Elementos e ligação:
    • Entrada não inversora do comparador: v_{\mathrm{sin}}(t).
    • Entrada inversora do comparador: referência 0\\ \mathrm{V} (terra).
    • Saída: v_{\mathrm{sq}}(t)\approx\pm V_{\mathrm{sat}} (vou usar \pm 12\\ \mathrm{V}).
  • Observações práticas e melhoria (hysteresis opcional):
    • Um comparador simples funciona, mas ruído próximo a zero pode causar comutação instável. Para robustez emprega-se uma realimentação positiva (Schmitt trigger) que cria limiares +V_{TH} e -V_{TH}. Isso evita múltiplas transições por ruído.
    • Implementação de Schmitt com comparador (valores típicos): usar um resistor R_f de realimentação positiva e um resistor R_{in} para referência. Se a referência é terra, uma implementação clássica é alimentar a entrada de referência com um divisor que depende da saída via R_f. Por simplicidade e se o gerador seno for estável e com pouco ruído, a versão sem hysteresis é aceitável.
  • Diagrama funcional (texto): v_{\mathrm{sin}}(t) —> comparador (limiar 0) —> v_{\mathrm{sq}}(t)=\pm 12\\ \mathrm{V} a 1\\ \mathrm{kHz}.

Passo 3

Como obter onda triangular integrando a onda quadrada: teoria do integrador ideal e fórmula de projeto.
  • Teoria do integrador ideal (op-amp integrador inverting): ao aplicar na entrada um degrau (ou quadrado) V_{\mathrm{in}}, a saída do integrador varia linearmente com inclinação proporcional a V_{\mathrm{in}}. Para um integrador com resistor R na entrada e capacitor C na realimentação: v_{\mathrm{out}}(t) = -\frac{1}{RC}\int v_{\mathrm{in}}(t)\,dt + v_{\mathrm{out}}(0).Aqui R é o resistor na entrada do integrador, C é o capacitor de realimentação, v_{\mathrm{in}}(t) é a tensão aplicada ao resistor.
  • Caso prático: se v_{\mathrm{in}}(t) for uma onda quadrada simétrica de amplitude \pm V_{\mathrm{sq}} e período T, então durante cada semi-período T/2 a saída do integrador varia com inclinação constante: \text{inclinação} = \pm \frac{V_{\mathrm{sq}}}{RC}.çãA variação de tensão durante um semi-período é \Delta V = \frac{V_{\mathrm{sq}}}{RC}\cdot \frac{T}{2}.Para que a saída seja triangular simétrica com pico a pico V_{\mathrm{tri,pp}}, é necessário que a variação do integrador entre pico e vale seja metade do pico-a-pico: V_{\mathrm{tri,pp}} = 2\Delta V = 2\cdot\frac{V_{\mathrm{sq}}}{RC}\cdot\frac{T}{2} = \frac{V_{\mathrm{sq}}T}{RC}.Portanto o produto RC deve satisfazer RC = \frac{V_{\mathrm{sq}}T}{V_{\mathrm{tri,pp}}}.
  • Substituindo valores conhecidos:
    • f=1\\ \mathrm{kHz}\Rightarrow T=\dfrac{1}{f}=1\\ \mathrm{ms}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}.
    • V_{\mathrm{sq}}=12\\ \mathrm{V} (comparador satura nas rails \pm 12\\ \mathrm{V}).
    • V_{\mathrm{tri,pp}}=16\\ \mathrm{V}.
      Então
    RC = \frac{12\cdot 1\times 10^{-3}}{16} = \frac{12\times 10^{-3}}{16} = 0{,}00075\\ \mathrm{s} = 7{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}.
  • Escolha prática de componentes:
    • Exemplo: R=75\\ \mathrm{k\Omega} e C=10\\ \mathrm{nF} dão RC=75\times10^{3}\cdot10\times10^{-9}=7{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{s} (valor desejado).
    • Alternativas padrão: R=82\\ \mathrm{k\Omega} e C=9{,}1\\ \mathrm{nF} aproximam também.
  • Observações de implementação:
    • Use um integrador com capacidade de saída para as amplitudes desejadas (op-amp com alimentação \pm 12\\ \mathrm{V}, baixo offset e slew-rate suficiente — para 1\\ \mathrm{kHz} velocidades moderadas são suficientes).
    • Colocar uma pequena resistência em série com o capacitor de realimentação (ou colocar um resistor paralelo ao capacitor) para estabilizar e evitar saturação DC por offset.
    • Se quiser onda triangular centrada em 0\\ \mathrm{V}, assegure que o integrador tenha ponto de referência em 0\\ \mathrm{V} e que eventuais offsets sejam compensados.

Passo 4

Montagem completa para obter quadrada e triangular (resumo do fluxo de sinais) e circuitos recomendados:
  • Fluxo:
    1. Sinal seno v_{\mathrm{sin}}(t) ( 1\\ \mathrm{kHz}) entra no comparador (entrada +) e na cadeia de PWM (mais adiante).
    2. Comparador com limiar 0\\ \mathrm{V}: saí v_{\mathrm{sq}}(t)=\pm 12\\ \mathrm{V} a 1\\ \mathrm{kHz}.
    3. v_{\mathrm{sq}}(t) entra no integrador (entrada através de R=75\\ \mathrm{k\Omega}, capacitor C=10\\ \mathrm{nF} na realimentação) produzindo v_{\mathrm{tri}}(t) com f=1\\ \mathrm{kHz} e aproximadamente \pm 8\\ \mathrm{V}.
  • Observações de componentes:
    • Comparador: LM311, LM393 ou um op-amp rápido usado como comparador (não ideal, mas ok em hobby). Se usar LM311, lembre de colocar pull-up resistor na saída e alimentar corretamente.
    • Integrador: op-amp de precisão (por ex. TL072, LF353, etc.) alimentado em \pm 12\\ \mathrm{V}. Colocar resistor paralelo ao capacitor (por ex. R_{\text{bleed}}=1\\ \mathrm{M\Omega}) para eliminar drift DC.
  • Teste esperado: a saída do integrador será triangular; se houver inclinações não lineares ajuste R ou use buffer de saída adequado.

Passo 5

Projeto do circuito PWM usando a triangular como portadora e o seno como sinal modulador.
  • Conceito do PWM por comparação: o PWM é obtido comparando-se uma portadora triangular v_{\mathrm{tri}}(t)\) com um sinal de referência \(v_{\mathrm{mod}}(t)\). A forma de saída típica é \[v_{\mathrm{PWM}}(t) = \begin{cases} V_{\mathrm{H}}, & v_{\mathrm{mod}}(t) > v_{\mathrm{tri}}(t),\\[6pt] V_{\mathrm{L}}, & v_{\mathrm{mod}}(t) < v_{\mathrm{tri}}(t). \end{cases}Aqui V_{\mathrm{H}}\] e \(V_{\mathrm{L}} são os níveis alto e baixo do comparador (por ex. \pm 12\\ \mathrm{V} ou 0 e +12\\ \mathrm{V} dependendo da ligação).
  • No seu caso:
    • Portadora: use v_{\mathrm{tri}}(t) gerada no Passo 3 (1 kHz triangular \pm 8\\ \mathrm{V}).
    • Modulação: use o seno original v_{\mathrm{sin}}(t)=\pm 5\\ \mathrm{V} como v_{\mathrm{mod}}(t), mas para obter máxima resolução no PWM convém ajustar a amplitude do seno para igualar a amplitude da triangular (ou usar ganho).
  • Ajuste de ganho para usar toda a amplitude da triangular:
    • Desejamos V_{p,\mathrm{mod\_new}} = V_{p,\mathrm{tri}} = 8\\ \mathrm{V}.
    • Ganho necessário G=\dfrac{8}{5}=1{,}6.
    • Implementação prática: amplificador não-inversor com ganho G=1+ \dfrac{R_f}{R_{in}}.
      • Escolha R_{in}=100\\ \mathrm{k\Omega} e R_f=62\\ \mathrm{k\Omega} G=1+62/100=1{,}62 (próximo de 1{,}6).
    • Assim v_{\mathrm{mod}}^{\mathrm{(ajustado)}}(t)=1{,}62\cdot v_{\mathrm{sin}}(t)\approx \pm 8{,}1\\ \mathrm{V}.
  • Comparador PWM:
    • Entradas: v_{\mathrm{mod}}^{\mathrm{(ajustado)}} na entrada não-inversora, v_{\mathrm{tri}} na inversora (ou vice-versa, dependendo da polaridade desejada).
    • Saída: v_{\mathrm{PWM}}(t) que terá largura de pulso variável dentro de cada período em função da comparação.
  • Exemplo de montagem:
    1. Buffer/amplificador do seno: op-amp em configuração não-inversora com R_{in}=100\\ \mathrm{k\Omega}, R_f=62\\ \mathrm{k\Omega}.
    2. Comparador (LM311) com entradas: + recebe v_{\mathrm{mod}}^{\mathrm{(ajustado)}}, - recebe v_{\mathrm{tri}}. Saída com pull-up a +12\\ \mathrm{V} fornece 0 a +12\\ \mathrm{V} PWM (ou escolha saídas simétricas conforme necessidade).
  • Observações sobre resultado quando portadora e moduladora têm a mesma frequência:
    • Se portadora (triangular) e moduladora (seno) têm exatamente a mesma frequência e estão faseadas, o PWM resultante terá estrutura de pulso dentro de cada período determinado pelos instantes de cruzamento. A largura do pulso em cada período varia conforme a amplitude instantânea do seno em comparação com a rampa triangular. É um PWM válido, embora em aplicações de modulação de amplitude normalmente o portador tenha frequência muito maior que a do sinal de interesse; aqui, como foi pedido “mesma frequência”, isso é aceitável mas a interpretação do espectro será diferente (menor resolução espectral).
    • Ajuste de fase: se desejar um padrão de PWM mais simétrico pode ajustar fase entre seno e tri; mas no esquema acima ambos estão em fase natural (tri gerada a partir do quadrado que deriva do seno), então há uma relação de fase fixa — se for preciso mudar a fase, inserir atraso/adiantamento no tri ou seno é possível.]

Passo 6

Boas práticas, componentes sugeridos e pontos de atenção antes de montar
  • Op-amps/comparadores sugeridos:
    • Comparador: LM311 ou LM393 (atenção à necessidade de resistor pull-up no LM311).
    • Integrador e amplificador: TL072, NE5532, LF353 (escolha um com alimentação \pm 12\\ \mathrm{V} e slew-rate razoável).
  • Componentes:
    • Integrador: R_{\mathrm{int}}=75\\ \mathrm{k\Omega}, C_{\mathrm{int}}=10\\ \mathrm{nF}, R_{\mathrm{bleed}}=1\\ \mathrm{M\Omega} em paralelo a C para estabilidade DC.
    • Amplificador do seno: R_{in}=100\\ \mathrm{k\Omega}, R_f=62\\ \mathrm{k\Omega}.
    • Pull-up do comparador: R_{pu}=10\\ \mathrm{k\Omega} (se necessário).
  • Verificações práticas:
    • Meça v_{\mathrm{sq}}(t) no comparador: deve ser quadrado 1\\ \mathrm{kHz}.
    • Meça v_{\mathrm{tri}}(t) no integrador: deve ser triangular com amplitude aproximadamente \pm 8\\ \mathrm{V}. Se a amplitude estiver maior/menor, ajuste R ou C conforme a fórmula RC=\dfrac{V_{\mathrm{sq}}T}{V_{\mathrm{tri,pp}}}.
    • Meça v_{\mathrm{PWM}}(t) na saída do comparador do Passo 5: verá pulsos cujo Duty varia segundo a comparação seno×tri.
  • Ajustes finos:
    • Se houver offset DC no integrador, ajuste o resistor paralelo ou adicione um trimpot para eliminar deslocamento.
    • Se as transições do PWM apresentarem ruído, adicione pequena hysteresis no comparator do PWM ou um pequeno condicionamento (filtro) na entrada da comparação.

Resposta

Quadrado (1 kHz): usar um comparador com entrada + = v_{\mathrm{sin}}(t) e entrada - = 0\\ \mathrm{V}; saída v_{\mathrm{sq}}(t)\approx\pm 12\\ \mathrm{V} (com pull-up se necessário).\n
Triangular (1 kHz): integrar v_{\mathrm{sq}}(t) com um integrador op-amp inverting; escolher R e C pelo requisito \;RC=\dfrac{V_{\mathrm{sq}}T}{V_{\mathrm{tri,pp}}}\;. Com V_{\mathrm{sq}}=12\\ \mathrm{V}, T=1\times10^{-3}\\ \mathrm{s}, V_{\mathrm{tri,pp}}=16\\ \mathrm{V} tem-se RC=7{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{s}. Exemplo prático: R=75\\ \mathrm{k\Omega}, C=10\\ \mathrm{nF} (op-amp alimentado em \pm 12\\ \mathrm{V}, resistor paralelo 1\\ \mathrm{M\Omega} para drift).\n
PWM (1 kHz): comparar v_{\mathrm{tri}}(t) com v_{\mathrm{mod}}(t) (o seno). Ajustar ganho do seno para usar toda a amplitude da triangular: ganho G=\dfrac{V_{p,\mathrm{tri}}}{V_{p,\mathrm{sin}}}=\dfrac{8}{5}\approx1{,}6 (não-inversor com R_{in}=100\\ \mathrm{k\Omega}, R_f=62\\ \mathrm{k\Omega} G\approx1{,}62). Comparador final: + recebe seno amplificado, - recebe tri; saída é o sinal PWM a 1\\ \mathrm{kHz}.

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