A partir do princípio da superposição, explique por que, no experimento de dupla fenda, não se somam probabilidades, mas sim amplitudes de probabilidade.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar, a partir do princípio da superposição, por que no experimento de dupla fenda não se somam probabilidades, mas sim amplitudes de probabilidade.
Informações que temos (explicitadas): existe um ponto de detecção na tela para o qual há duas maneiras indistinguíveis de chegar — atravessar a fenda 1 ou a fenda 2 — e aplicamos o princípio da superposição às funções de onda (amplitudes) associadas a essas trajetórias. Não vamos resolver nada ainda, só deixei claro o pedido e os dados relevantes.
Informações que temos (explicitadas): existe um ponto de detecção na tela para o qual há duas maneiras indistinguíveis de chegar — atravessar a fenda 1 ou a fenda 2 — e aplicamos o princípio da superposição às funções de onda (amplitudes) associadas a essas trajetórias. Não vamos resolver nada ainda, só deixei claro o pedido e os dados relevantes.
Passo 2
O que é amplitude e como ela vira probabilidade (regra de Born).
- Em mecânica quântica, para cada modo/trajectória existe uma amplitude complexa
. Essa amplitude contém duas coisas: um módulo (tamanho) e uma fase (ângulo). Posso escrever isso como , onde é o módulo e é a fase. - A probabilidade de detectar a partícula num ponto é dada pela regra de Born:
Aqui
significa o quadrado do módulo de
(se
for complexo,
). Expliquei o que cada símbolo quer dizer:
= amplitude complexa,
= módulo,
= fase,
= conjugado complexo de
.
Passo 3
Princípio da superposição aplicado às fendas.
- Seja
a amplitude (função de onda) associada ao caminho “passou pela fenda 1” e a amplitude associada ao caminho “passou pela fenda 2”. Pelo princípio da superposição (linearidade da equação de evolução), a amplitude total para chegar ao ponto da tela é a soma:
- Como a probabilidade vem do módulo quadrado da amplitude total, temos
Aqui já está a pista do porquê não somamos probabilidades: a probabilidade é o quadrado do módulo da soma, não a soma dos quadrados.
Passo 4
Expansão algébrica que mostra o termo de interferência.
- Vamos expandir
. Usando (onde é o conjugado de ),
- Reescrevendo:
Expliquei os termos:
e
seriam as probabilidades se apenas uma fenda estivesse aberta; o termo extra
é o termo de interferência — depende da fase relativa entre
e
.
Passo 5
Interpretação física do termo de interferência (com fase).
- Escrevendo
(onde é o módulo e a fase para ), obtemos
- Assim o termo de interferência vira
Isto mostra que a probabilidade no ponto depende da diferença de fases
. Se
temos interferência construtiva; se
temos interferência destrutiva.
Passo 6
Exemplo numérico simples para “ver” o efeito.
- Suponha amplitudes iguais com
. Então
- Se
(fases alinhadas), (construtivo); se , (destrutivo). - Se alguém tivesse somado probabilidades diretamente receberia
, que não coincide com os valores extremos obtidos pelo cálculo correto. Isso ilustra claramente que somar probabilidades ignora o termo de interferência controlado pela fase.
Passo 7
Por que amplitudes (e não probabilidades) são as quantidades que se somam: linearidade e fase.
- O princípio da superposição vem da linearidade da equação de evolução quântica (por exemplo, a equação de Schrödinger é linear): se
e são soluções, então também é solução. Portanto a quantidade natural que combina caminhos é a amplitude . - Probabilidades são obtidas por uma operação não linear (tomar o módulo ao quadrado) sobre a soma das amplitudes. Essa não-linearidade é justamente a origem do termo de interferência que impede a soma simples das probabilidades.
Passo 8
Quando as probabilidades sim se somam (intuição sobre coerência e informação de qual-caminho).
- Se houver informação que distingue os dois caminhos (por exemplo, um detector que marca “passou pela fenda 1” ou “pela fenda 2”), as amplitudes deixam de interferir: os estados ficam incoerentes/ortogonais e a média sobre o detector zera o termo cruzado. Nesse caso o termo de interferência desaparece e obtemos
- Em palavras: probabilidades somam somente quando as trajetórias são incoerentes (ou quando há perda de fase entre elas), ou quando as amplitudes associadas tornam-se ortogonais por estarem marcadas por estados diferentes do ambiente. Sem essa “marcação”, os caminhos são indistinguíveis e as amplitudes interferem.
Passo 9
Resumo curto, direto e motivador.
- Regra prática para a prova: some sempre as amplitudes quando os caminhos são indistinguíveis; só depois aplique a regra de Born (
). Não some probabilidades imediatamente — a operação correta é e então . Isso gera termos de interferência que explicam as franjas brilhantes e escuras da dupla fenda. Você consegue entender o experimento controlando mentalmente as fases — pense nas amplitudes como pequenas setas (complexas) que somam e cujos produtos cruzados criam os picos e vales da probabilidade. Vai dar certo na prova!
Resposta
Porque a superposição faz somar as amplitudes complexas
e
, e a probabilidade é o módulo ao quadrado da soma:
portanto aparece um termo de interferência dependente da fase que impede a soma direta das probabilidades.