A partir do princípio da superposição, explique por que, no experimento de dupla fenda, não se somam probabilidades, mas sim amplitudes de probabilidade.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar, a partir do princípio da superposição, por que no experimento de dupla fenda não se somam probabilidades, mas sim amplitudes de probabilidade.
Informações que temos (explicitadas): existe um ponto de detecção na tela para o qual há duas maneiras indistinguíveis de chegar — atravessar a fenda 1 ou a fenda 2 — e aplicamos o princípio da superposição às funções de onda (amplitudes) associadas a essas trajetórias. Não vamos resolver nada ainda, só deixei claro o pedido e os dados relevantes.

Passo 2

O que é amplitude e como ela vira probabilidade (regra de Born).
  • Em mecânica quântica, para cada modo/trajectória existe uma amplitude complexa \psi. Essa amplitude contém duas coisas: um módulo (tamanho) e uma fase (ângulo). Posso escrever isso como \psi = a\,e^{i\varphi}, onde a\ge 0 é o módulo e \varphi é a fase.
  • A probabilidade de detectar a partícula num ponto é dada pela regra de Born:
P = |\psi|^2.
Aqui |\psi|^2 significa o quadrado do módulo de \psi (se \psi for complexo, |\psi|^2 = \psi^*\psi). Expliquei o que cada símbolo quer dizer: \psi = amplitude complexa, a = módulo, \varphi = fase, \psi^* = conjugado complexo de \psi.

Passo 3

Princípio da superposição aplicado às fendas.
  • Seja \psi_1 a amplitude (função de onda) associada ao caminho “passou pela fenda 1” e \psi_2 a amplitude associada ao caminho “passou pela fenda 2”. Pelo princípio da superposição (linearidade da equação de evolução), a amplitude total para chegar ao ponto da tela é a soma:
\psi_{\text{total}} = \psi_1 + \psi_2.
  • Como a probabilidade vem do módulo quadrado da amplitude total, temos
P = |\psi_{\text{total}}|^2 = |\psi_1+\psi_2|^2.
Aqui já está a pista do porquê não somamos probabilidades: a probabilidade é o quadrado do módulo da soma, não a soma dos quadrados.

Passo 4

Expansão algébrica que mostra o termo de interferência.
  • Vamos expandir |\psi_1+\psi_2|^2. Usando |z|^2 = z^* z (onde z^* é o conjugado de z),
|\psi_1+\psi_2|^2 = (\psi_1+\psi_2)^*(\psi_1+\psi_2) = \psi_1^*\psi_1 + \psi_2^*\psi_2 + \psi_1^*\psi_2 + \psi_2^*\psi_1.
  • Reescrevendo:
P = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\mathrm{Re}\!\left(\psi_1^*\psi_2\right).
Expliquei os termos: |\psi_1|^2 e |\psi_2|^2 seriam as probabilidades se apenas uma fenda estivesse aberta; o termo extra 2\mathrm{Re}(\psi_1^*\psi_2) é o termo de interferência — depende da fase relativa entre \psi_1 e \psi_2.

Passo 5

Interpretação física do termo de interferência (com fase).
  • Escrevendo \psi_j = a_j e^{i\phi_j} (onde a_j é o módulo e \phi_j a fase para j=1,2), obtemos
\psi_1^*\psi_2 = a_1 a_2 e^{i(\phi_2-\phi_1)}.
  • Assim o termo de interferência vira
2\mathrm{Re}\!\left(\psi_1^*\psi_2\right) = 2 a_1 a_2 \cos(\phi_2-\phi_1).
Isto mostra que a probabilidade no ponto depende da diferença de fases \Delta\varphi=\phi_2-\phi_1. Se \Delta\varphi=0 temos interferência construtiva; se \Delta\varphi=\pi temos interferência destrutiva.

Passo 6

Exemplo numérico simples para “ver” o efeito.
  • Suponha amplitudes iguais com a_1=a_2=1. Então
P = 1 + 1 + 2\cos(\Delta\varphi) = 2\bigl(1+\cos(\Delta\varphi)\bigr).
  • Se \Delta\varphi=0 (fases alinhadas), P=4 (construtivo); se \Delta\varphi=\pi, P=0 (destrutivo).
  • Se alguém tivesse somado probabilidades diretamente receberia P_1+P_2 = 1+1=2, que não coincide com os valores extremos obtidos pelo cálculo correto. Isso ilustra claramente que somar probabilidades ignora o termo de interferência controlado pela fase.

Passo 7

Por que amplitudes (e não probabilidades) são as quantidades que se somam: linearidade e fase.
  • O princípio da superposição vem da linearidade da equação de evolução quântica (por exemplo, a equação de Schrödinger é linear): se \psi_1 e \psi_2 são soluções, então \psi_1+\psi_2 também é solução. Portanto a quantidade natural que combina caminhos é a amplitude \psi.
  • Probabilidades são obtidas por uma operação não linear (tomar o módulo ao quadrado) sobre a soma das amplitudes. Essa não-linearidade é justamente a origem do termo de interferência que impede a soma simples das probabilidades.

Passo 8

Quando as probabilidades sim se somam (intuição sobre coerência e informação de qual-caminho).
  • Se houver informação que distingue os dois caminhos (por exemplo, um detector que marca “passou pela fenda 1” ou “pela fenda 2”), as amplitudes deixam de interferir: os estados ficam incoerentes/ortogonais e a média sobre o detector zera o termo cruzado. Nesse caso o termo de interferência desaparece e obtemos
P = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2.
  • Em palavras: probabilidades somam somente quando as trajetórias são incoerentes (ou quando há perda de fase entre elas), ou quando as amplitudes associadas tornam-se ortogonais por estarem marcadas por estados diferentes do ambiente. Sem essa “marcação”, os caminhos são indistinguíveis e as amplitudes interferem.

Passo 9

Resumo curto, direto e motivador.
  • Regra prática para a prova: some sempre as amplitudes quando os caminhos são indistinguíveis; só depois aplique a regra de Born ( P=|\psi|^2). Não some probabilidades imediatamente — a operação correta é \psi_{\text{total}}=\sum \psi_j e então P=|\psi_{\text{total}}|^2. Isso gera termos de interferência que explicam as franjas brilhantes e escuras da dupla fenda. Você consegue entender o experimento controlando mentalmente as fases — pense nas amplitudes como pequenas setas (complexas) que somam e cujos produtos cruzados criam os picos e vales da probabilidade. Vai dar certo na prova!

Resposta

Porque a superposição faz somar as amplitudes complexas \psi_1 e \psi_2, e a probabilidade é o módulo ao quadrado da soma:
P=|\psi_1+\psi_2|^2=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2\mathrm{Re}(\psi_1^*\psi_2),
portanto aparece um termo de interferência dependente da fase que impede a soma direta das probabilidades.

Exercícios relacionados