A partir da relação deduzida na questão anterior, explique porque os átomos 1 e 2 na célula elemental oscilam no mesmo sentido no ramo acústico. Por que no ramo óptico oscilam em sentidos opostos ?.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Explicar por que, a partir da relação obtida na questão anterior, os átomos 1 e 2 da célula elemental oscilam no mesmo sentido no ramo acústico.
Explicar por que, no ramo óptico, os átomos 1 e 2 oscilam em sentidos opostos.
Informações relevantes (tomadas como já deduzidas na questão anterior):
A razão entre as amplitudes complexas das oscilações das duas sublattice na célula (denotar U para o átomo 1 e V para o átomo 2) pode ser escrita como
onde C é a constante elástica (rigidez das molas), a é a distância entre células (constante de rede), k é o número de onda e \omega é a frequência da onda normal; M_1 é a massa do átomo 1.
A relação de dispersão (determina \omega em função de k) gera dois ramos: ramo acústico \omega_{\text{ac}}(k) e ramo óptico \omega_{\text{op}}(k). Em particular, no ponto k=0 sabe-se que
sendo M_2 a massa do átomo 2.
Essas expressões serão usadas para analisar o sinal (fase relativa) de U/V.
Passo 2
O que significa a razão \dfrac{U}{V} e como a usar para responder:
U e V são amplitudes complexas. A razão \dfrac{U}{V} contém informação de módulo (relação de amplitudes) e de fase (sinal ou deslocamento relativo).
Se \dfrac{U}{V} for um número real positivo, então U e V têm a mesma fase: os dois átomos oscilam no mesmo sentido (em fase).
Se \dfrac{U}{V} for um número real negativo, então U e V têm fase oposta: os dois átomos oscilam em sentidos opostos (em contrafase).
Se \dfrac{U}{V} for um número complexo com fase não nula, há um defasamento arbitrário entre as oscilações; porém, nos ramos normais típicos (especialmente em k=0) o fator de fase simplifica e o sinal real é suficiente para decidir “mesmo sentido” ou “sentidos opostos”.
Passo 3
Análise no ponto k=0 — ramo acústico:
Primeiro avalio o fator 1+e^{-ika} em k=0:
1+e^{-i0\cdot a}=1+1=2.
Para o ramo acústico em k=0 temos \omega_{\text{ac}}(0)=0. Substituindo \omega=0 na expressão de \dfrac{U}{V}:
Conclusão matemática: \dfrac{U}{V}=1>0. Portanto U e V têm a mesma fase e a mesma amplitude (no limite k=0). Isso significa que os átomos 1 e 2 oscilam no mesmo sentido — ambos se deslocam conjuntamente, como se a célula inteira fizesse uma pequena translação oscilante.
Interpretação física intuitiva: o ramo acústico, especialmente em comprimentos de onda muito longos (k\to0), descreve o movimento de tradução da rede inteira (movimento do centro de massa). Logo as duas massas na célula se movem juntas em fase.
Passo 4
Análise no ponto k=0 — ramo óptico:
Avalio novamente 1+e^{-ika} em k=0: é 2 (como antes).
Para o ramo óptico em k=0 usamos \omega_{\text{op}}^2(0)=2C\!\left(\dfrac{1}{M_1}+\dfrac{1}{M_2}\right). Substituindo esse \omega em \dfrac{U}{V}:
primeiro calcule M_1\omega_{\text{op}}^2(0):
Conclusão matemática: \dfrac{U}{V}=-\dfrac{M_2}{M_1}<0. O sinal é negativo, o que indica que U e V têm fase oposta — os dois átomos oscilam em sentidos opostos (contrafase). A magnitude \dfrac{M_2}{M_1} dá a razão das amplitudes necessárias para satisfazer as equações de movimento, mas o ponto chave é o sinal negativo.
Interpretação física: o ramo óptico em k=0 corresponde a oscilações internas da célula onde o centro de massa pode permanecer praticamente parado enquanto os dois átomos se movem em sentidos opostos — é uma vibração interna “óptica”, responsável por acoplar à luz em sólidos iônicos/polares.
Passo 5
Observações adicionais (intuitivas e úteis para prova):
Para k geral existe o fator de fase e^{-ika/2} na expressão completa de \dfrac{U}{V}. Isso pode introduzir uma defasagem que depende de k; entretanto, a caracterização “acústico = em fase” e “óptico = em contrafase” é especialmente clara em k=0 e permanece a interpretação física central dos dois ramos.
Resumo físico rápido para memorizar: ramo acústico → modos de baixa frequência que correspondem a deslocamento conjunto (ondulação da rede, som); ramo óptico → modos de alta frequência que correspondem a vibração relativa entre sublattices (as massas da célula vibram uma contra a outra).
Resposta
No ramo acústico os átomos 1 e 2 oscilam no mesmo sentido porque, ao substituir \omega_{\text{ac}}(0)=0 na relação entre amplitudes, obtém-se \dfrac{U}{V}=1>0, indicando que as amplitudes têm a mesma fase (movimento conjunto da célula).
No ramo óptico os átomos 1 e 2 oscilam em sentidos opostos porque, ao substituir \omega_{\text{op}}^2(0)=2C\!\left(\dfrac{1}{M_1}+\dfrac{1}{M_2}\right), obtém-se \dfrac{U}{V}=-\dfrac{M_2}{M_1}<0, indicando fase oposta entre as amplitudes (vibração relativa entre as massas).