A partir da relação deduzida na questão anterior, explique porque os átomos 1 e 2 na célula elemental oscilam no mesmo sentido no ramo acústico. Por que no ramo óptico oscilam em sentidos opostos ?.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar por que, a partir da relação obtida na questão anterior, os átomos 1 e 2 da célula elemental oscilam no mesmo sentido no ramo acústico.
  • Explicar por que, no ramo óptico, os átomos 1 e 2 oscilam em sentidos opostos.
Informações relevantes (tomadas como já deduzidas na questão anterior):
  • A razão entre as amplitudes complexas das oscilações das duas sublattice na célula (denotar U para o átomo 1 e V para o átomo 2) pode ser escrita como
\frac{U}{V}=\frac{C\,(1+e^{-ika})}{2C - M_1\omega^2},
onde C é a constante elástica (rigidez das molas), a é a distância entre células (constante de rede), k é o número de onda e \omega é a frequência da onda normal; M_1 é a massa do átomo 1.
  • A relação de dispersão (determina \omega em função de k) gera dois ramos: ramo acústico \omega_{\text{ac}}(k) e ramo óptico \omega_{\text{op}}(k). Em particular, no ponto k=0 sabe-se que
\omega_{\text{ac}}(0)=0 \qquad\text{e}\qquad \omega_{\text{op}}^2(0)=2C\!\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right),
sendo M_2 a massa do átomo 2.
Essas expressões serão usadas para analisar o sinal (fase relativa) de U/V.

Passo 2

O que significa a razão \dfrac{U}{V} e como a usar para responder:
  • U e V são amplitudes complexas. A razão \dfrac{U}{V} contém informação de módulo (relação de amplitudes) e de fase (sinal ou deslocamento relativo).
  • Se \dfrac{U}{V} for um número real positivo, então U e V têm a mesma fase: os dois átomos oscilam no mesmo sentido (em fase).
  • Se \dfrac{U}{V} for um número real negativo, então U e V têm fase oposta: os dois átomos oscilam em sentidos opostos (em contrafase).
  • Se \dfrac{U}{V} for um número complexo com fase não nula, há um defasamento arbitrário entre as oscilações; porém, nos ramos normais típicos (especialmente em k=0) o fator de fase simplifica e o sinal real é suficiente para decidir “mesmo sentido” ou “sentidos opostos”.

Passo 3

Análise no ponto k=0 — ramo acústico:
  • Primeiro avalio o fator 1+e^{-ika} em k=0:
1+e^{-i0\cdot a}=1+1=2.
  • Para o ramo acústico em k=0 temos \omega_{\text{ac}}(0)=0. Substituindo \omega=0 na expressão de \dfrac{U}{V}:
\frac{U}{V}\Bigg|_{\text{ac},\,k=0}=\frac{C\cdot 2}{2C - M_1\cdot 0}=\frac{2C}{2C}=1.
  • Conclusão matemática: \dfrac{U}{V}=1>0. Portanto U e V têm a mesma fase e a mesma amplitude (no limite k=0). Isso significa que os átomos 1 e 2 oscilam no mesmo sentido — ambos se deslocam conjuntamente, como se a célula inteira fizesse uma pequena translação oscilante.
  • Interpretação física intuitiva: o ramo acústico, especialmente em comprimentos de onda muito longos ( k\to0), descreve o movimento de tradução da rede inteira (movimento do centro de massa). Logo as duas massas na célula se movem juntas em fase.

Passo 4

Análise no ponto k=0 — ramo óptico:
  • Avalio novamente 1+e^{-ika} em k=0: é 2 (como antes).
  • Para o ramo óptico em k=0 usamos \omega_{\text{op}}^2(0)=2C\!\left(\dfrac{1}{M_1}+\dfrac{1}{M_2}\right). Substituindo esse \omega em \dfrac{U}{V}:
    primeiro calcule M_1\omega_{\text{op}}^2(0):
M_1\omega_{\text{op}}^2(0)=M_1\cdot 2C\!\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right) =2C\!\left(1+\frac{M_1}{M_2}\right).
Agora a diferença no denominador:
2C - M_1\omega_{\text{op}}^2(0)=2C-2C\!\left(1+\frac{M_1}{M_2}\right) =-2C\frac{M_1}{M_2}.
Assim a razão torna-se
\frac{U}{V}\Bigg|_{\text{op},\,k=0} =\frac{C\cdot 2}{-2C\displaystyle\frac{M_1}{M_2}} =\frac{2C}{-2C}\cdot\frac{M_2}{M_1}=-\frac{M_2}{M_1}.
  • Conclusão matemática: \dfrac{U}{V}=-\dfrac{M_2}{M_1}<0. O sinal é negativo, o que indica que U e V têm fase oposta — os dois átomos oscilam em sentidos opostos (contrafase). A magnitude \dfrac{M_2}{M_1} dá a razão das amplitudes necessárias para satisfazer as equações de movimento, mas o ponto chave é o sinal negativo.
  • Interpretação física: o ramo óptico em k=0 corresponde a oscilações internas da célula onde o centro de massa pode permanecer praticamente parado enquanto os dois átomos se movem em sentidos opostos — é uma vibração interna “óptica”, responsável por acoplar à luz em sólidos iônicos/polares.

Passo 5

Observações adicionais (intuitivas e úteis para prova):
  • Para k geral existe o fator de fase e^{-ika/2} na expressão completa de \dfrac{U}{V}. Isso pode introduzir uma defasagem que depende de k; entretanto, a caracterização “acústico = em fase” e “óptico = em contrafase” é especialmente clara em k=0 e permanece a interpretação física central dos dois ramos.
  • Resumo físico rápido para memorizar: ramo acústico → modos de baixa frequência que correspondem a deslocamento conjunto (ondulação da rede, som); ramo óptico → modos de alta frequência que correspondem a vibração relativa entre sublattices (as massas da célula vibram uma contra a outra).

Resposta

No ramo acústico os átomos 1 e 2 oscilam no mesmo sentido porque, ao substituir \omega_{\text{ac}}(0)=0 na relação entre amplitudes, obtém-se \dfrac{U}{V}=1>0, indicando que as amplitudes têm a mesma fase (movimento conjunto da célula).
No ramo óptico os átomos 1 e 2 oscilam em sentidos opostos porque, ao substituir \omega_{\text{op}}^2(0)=2C\!\left(\dfrac{1}{M_1}+\dfrac{1}{M_2}\right), obtém-se \dfrac{U}{V}=-\dfrac{M_2}{M_1}<0, indicando fase oposta entre as amplitudes (vibração relativa entre as massas).