3 Uma peça cilíndrica fabricada em aço carbono SAE 1020 (baixo carbono) tem diâmetro igual a 5 in . igual a e altura de 3,5 \mathrm{in}. Esse cilindro é forjado numa prensa com matrizes abertas e planas, nessa condição sofre uma redução de altura de 30 \%. Calcule a força de forjamento sabendo que o coeficiente de atrito é 0,2
Dados: 1 \mathrm{MPa}=145 \mathrm{psi}---- 1 inch =25,5 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado dá uma peça cilíndrica em aço carbono SAE 1020 com diâmetro igual a 5\\ \text{in} e altura igual a 3,5\\ \text{in}. O cilindro é forjado em matrizes abertas e planas, sofrendo uma redução de altura de 30\%. O coeficiente de atrito entre peça e matriz é \mu=0,2. Dados de conversão fornecidos: 1\\ \text{MPa}=145\\ \text{psi} e 1\\ \text{in}=25{,}5\\ \text{mm}.
Pergunta pedida: calcular a força de forjamento (ou força de prensagem) necessária para esse processo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{diâmetro inicial: } d = 5\\ \text{in},\quad \text{logo } R=\frac{d}{2}=2{,}5\\ \text{in},\\\ &\text{altura inicial: } h_0 = 3{,}5\\ \text{in},\\\ &\text{redução de altura: } 30\%\Rightarrow h_f = h_0(1-0{,}30)=0{,}7\,h_0,\\\ &\mu=0{,}2. \end{aligned}âçã

Passo 2

Entender o que precisamos: a força de forjamento P é a pressão média de escoamento p multiplicada pela área projetada entre as matrizes A:
P = p \cdot A.
Vou agora definir e calcular a geometria após compressão e a área projetada.
Cálculos geométricos (conversão para mm conforme dado 1\\ \text{in}=25{,}5\\ \text{mm}):
\begin{aligned} &R = 2{,}5\\ \text{in} = 2{,}5\cdot25{,}5\\ \text{mm} = 63{,}75\\ \text{mm},\\\ &h_0 = 3{,}5\\ \text{in} = 3{,}5\cdot25{,}5\\ \text{mm} = 89{,}25\\ \text{mm},\\\ &h_f = 0{,}7\,h_0 = 0{,}7\cdot89{,}25\\ \text{mm} = 62{,}475\\ \text{mm},\\\ &h_{\text{média}} = \frac{h_0 + h_f}{2} = \frac{89{,}25 + 62{,}475}{2}\\ \text{mm} = 75{,}8625\\ \text{mm}. \end{aligned}é
Área projetada (se assume que o diâmetro não varia significativamente na projeção radial média; usamos R constante para área projetada):
A = \pi R^2 = \pi\,(63{,}75\\ \text{mm})^2 \approx 1,2767\times 10^{4}\\ \text{mm}^2.
(Nota: usar A em \text{mm}^2 com tensão em \text{MPa} dá força em N, pois 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N/mm}^2.)

Passo 3

Precisamos de uma expressão para a pressão média de forjamento p quando existe atrito. Vou explicar o conceito e a fórmula utilizada:
  • Conceito de tensão de escoamento média \bar{\sigma}: durante a deformação plástica a material oferece uma resistência média por unidade de área; essa resistência é chamada aqui de tensão de escoamento média (ou tensão de fluxo média) \bar{\sigma}. Para calcular a carga precisamos dessa \bar{\sigma}.
  • Em provas e exercícios de forjamento por compressão (upsetting) com matrizes planas, uma aproximação prática obtida pelo método da lâmina (slab method) dá a pressão média aumentada pelo atrito como:
p = \bar{\sigma}\left(1 + \frac{2\mu R}{3 h_{\text{média}}}\right).é
Explicando a fórmula e variáveis:
  • \bar{\sigma} é a tensão de escoamento média do material durante a deformação (unidade: \text{MPa} ou \text{N/mm}^2).
  • \mu é o coeficiente de atrito (aqui 0{,}2).
  • R é o raio do cilindro média (em mm).
  • h_{\text{média}}é é a altura média durante a compressão (em mm).
  • O termo \dfrac{2\mu R}{3 h_{\text{média}}}é é a correção de aumento de pressão devido ao atrito, obtida integrando o equilíbrio de forças em um anel exterior que “puxa” mais por causa do atrito — não precisamos do desenvolvimento inteiro aqui, apenas entender que é proporcional a \mu R/h e que o fator 3 surge do desenvolvimento geométrico pelo método da lâmina.
Justificativa do método: o exercício descreve um cilindro comprimido entre matrizes planas (matrizes abertas), situação clássica para usar essa aproximação razoavelmente simples e adequada para exercícios de prova.

Passo 4

Agora precisamos de \bar{\sigma} (tensão média de escoamento) para o aço SAE 1020. O enunciado não fornece um valor numérico explícito de \bar{\sigma}, por isso faço uma escolha fundamentada e a deixo explícita (sempre faça isso numa prova quando um parâmetro material não for dado): para aço carbono SAE 1020, valores típicos de resistência à tração e escoamento variam conforme tratamento térmico e temperatura de forjamento. Para um cálculo aproximado em exercícios didáticos é comum usar um valor de ordem de grandeza da tensão de escoamento média para esse aço. Vou assumir:
\bar{\sigma} = 350\\ \text{MPa}.
Comentário amigável: eu sei que é chato ter que assumir, mas isso é comum em listas — se seu professor deu outro valor use esse. Se o forjamento fosse a quente, \bar{\sigma} seria bem menor; se a frio e com encruamento, poderia ser maior. Aqui escolhemos 350\\ \text{MPa} porque é um valor típico representativo para aço baixo carbono em condição moderada.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os valores numéricos:
Calcular o termo de correção por atrito:
\frac{2\mu R}{3 h_{\text{média}}} = \frac{2\cdot 0{,}2 \cdot 63{,}75}{3\cdot 75{,}8625} = \frac{25{,}5}{227{,}5875} \approx 0{,}1121.é
Logo
p = \bar{\sigma}\left(1 + 0{,}1121\right) = 350\\ \text{MPa}\times 1{,}1121 \approx 389{,}235\\ \text{MPa}.
Relembrando que 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N/mm}^2, a força total é:
P = p\cdot A
com A \approx 1{,}2767\times 10^{4}\\ \text{mm}^2. Assim
P \approx 389{,}235\\ \left(\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\right)\times 1{,}2767\times 10^{4}\\ \text{mm}^2 \approx 4{,}971\times 10^{6}\\ \text{N}.
Para leitura prática converto também para quilonewtons e para libra-força (lbf). Usando 1\\ \text{kN}=10^3\\ \text{N} e 1\\ \text{lbf}\approx 4{,}44822\\ \text{N}:
P \approx 4{,}971\times 10^{6}\\ \text{N} \approx 4{,}971\\ \text{kN},
P \approx \frac{4{,}971\times 10^{6}}{4{,}44822}\\ \text{lbf} \approx 1{,}118\times 10^{6}\\ \text{lbf}.
(Arredondei a 3 algarismos significativos para apresentação.)

Passo 6

Interpretação e observação final (útil para prova):
  • Resultado obtido com a hipótese explícita \bar{\sigma}=350\\ \text{MPa}. Se na prova o enunciado trouxer outro valor de \bar{\sigma}, basta repetir os passos substituindo esse valor.
  • Se o processo for a quente, use \bar{\sigma} menor; se for a frio e com encruamento, use \bar{\sigma} maior. O fator de atrito \mu altera modestamente o resultado (aqui aumentou cerca de 11{,}2\% na pressão).
  • Resumindo a receita prática para a prova: calcule h_f, h_{\text{média}}é, área projetada A, escolha ou determine \bar{\sigma}, aplique
p=\bar{\sigma}\left(1+\frac{2\mu R}{3h_{\text{média}}}\right) \quad\text{e}\quad P=pA.é
Isso resolve problemas similares rápido.

Resposta

P \approx 4{,}97\times 10^{6}\\ \text{N} \approx 4{,}97\times 10^{3}\\ \text{kN} \approx 1{,}12\times 10^{6}\\ \text{lbf}.

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