Uma chapa fina de aço com largura 300 mm é reduzida de 4,064 \mathrm{~mm} a 3,556 \mathrm{~mm} com rolos de laminação de 508 mm de diâmetro com coeficiente de atrito igual a 0,04 . A tensão plástica média equivale 206 MPa . Despreza o encruamento e deformação dos rolos. Determine a pressão média de laminação.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a pressão média de laminação:
  • largura da chapa: \;300\\ \mathrm{mm} (não será necessária para a pressão média por unidade de área, mas anotada).
  • espessura inicial: \;h_0 = 4{,}064\\ \mathrm{mm}.
  • espessura final: \;h_1 = 3{,}556\\ \mathrm{mm}.
  • rolos de diâmetro: \;D = 508\\ \mathrm{mm}.
  • coeficiente de atrito: \;\mu = 0{,}04.
  • tensão plástica média (fluxo médio): \;\sigma_m = 206\\ \mathrm{MPa}.
Pergunta: determine a pressão média de laminação (ou seja, a pressão normal média na zona de contato entre rolo e chapa).

Passo 2

Calcule a redução absoluta de espessura (dado importante para a geometria do contato):
\Delta h = h_0 - h_1.
Substituindo os valores:
\Delta h = 4{,}064 - 3{,}556 = 0{,}508\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Determine o raio dos rolos:
R = \frac{D}{2} = \frac{508}{2} = 254\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcule o comprimento de contato projetado entre rolos e chapa. Para laminação com pequenas reduções a fórmula geométrica usada (aproximação clássica) é
l \approx 2\sqrt{R\,\Delta h},
onde l é o comprimento projetado de contato (em mm), R o raio do rolo (mm) e \Delta h a redução (mm). Substituindo:
l \approx 2\sqrt{254\cdot 0{,}508}.
Calcule a raiz:
\sqrt{254\cdot 0{,}508}=\sqrt{129{,}032}=11{,}356\\ \mathrm{mm},
logo
l \approx 2\cdot 11{,}356 = 22{,}712\\ \mathrm{mm}\approx 22{,}71\\ \mathrm{mm}.
(Esse comprimento nos dá a escala da zona de contato; vamos usá‑lo para conectar força por unidade de largura com pressão média.)

Passo 5

Explique a ideia física e a aproximação usada para obter a pressão média. Em laminação plana, sob as hipóteses clássicas usadas aqui — estado rígido‑plástico, deformação axi‑simétrica ao longo do arco de contato, desprezo do encruamento e sem tensões externas de tração — a análise por “slab method” mostra que a força de laminação por unidade de largura F/b é dada aproximadamente por
\frac{F}{b} \approx 2\,\sigma_m\,\sqrt{R\,\Delta h}.
Essa expressão resulta da integração das resistências plásticas ao longo da região deformada (é uma fórmula padrão em laminação em regime plástico aproximado). Note que ela envolve a mesma combinação \sqrt{R\Delta h} que apareceu em l.

Passo 6

Use a definição de pressão média: pressão média p_{\text{m}} é a força normal total dividida pela área projetada de contato. Para unidade de largura ( b=1\\ \mathrm{mm}) temos
p_{\text{m}}=\frac{F/b}{\,l\,}.
Substituindo a expressão de \frac{F}{b} do passo anterior e l=2\sqrt{R\Delta h} do passo 4:
p_{\text{m}}=\frac{2\,\sigma_m\,\sqrt{R\Delta h}}{2\sqrt{R\Delta h}}=\sigma_m.
Ou seja, na aproximação adotada a dependência com \sqrt{R\Delta h} cancela e a pressão média resulta igual à tensão plástica média fornecida no enunciado.

Passo 7

Interprete o papel do atrito \mu. Nesta aproximação padrão para pressão média de laminação em regime plástico (com hipóteses dadas: sem encruamento, deformação contínua), o coeficiente de atrito \mu influencia a distribuição de tensões, a posição do plano neutro e o torque nos rolos, mas não altera a igualdade simples entre pressão média e tensão plástica média. Portanto, o valor dado de \mu=0{,}04 é relevante para cálculos de força resistente ao rolamento e potência/torque, mas não muda a pressão média estimada por esta fórmula aproximada.

Resposta

206\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados