Uma peça de cobre a 88^{\circ} \mathrm{C} tarda em recristalizar 9.0 \times 10^{3} minutos, e a 135^{\circ} \mathrm{C}, tarda 200 minutos, ¿qual é a energia de ativação do processo, supondo que este obedece a equação de Arrhenius e que o tempo para recristalizar =A e^{-Q / R T}, onde R=8.314 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) e T está em K?. R. 99 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado pede a energia de ativação Q do processo de recristalização de uma peça de cobre, usando a cinética de Arrhenius na forma
\tau = A\,e^{-Q/(R\,T)},
onde \tau é o tempo de recristalização, R=8{,}314, \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T é a temperatura em kelvin. Temos dois pares (\tau_1,T_1) e (\tau_2,T_2), e vamos usar a razão dos tempos para eliminar A e isolar Q.

Passo 2

Escrevendo as duas expressões
\tau_1 = A\,e^{-Q/(R\,T_1)}, \quad \tau_2 = A\,e^{-Q/(R\,T_2)},
dividimos membro a membro para obter
\frac{\tau_1}{\tau_2} = e^{-Q/(R\,T_1)} \,\bigl(e^{-Q/(R\,T_2)}\bigr)^{-1} = e^{-Q/R\,(1/T_1 - 1/T_2)}.

Passo 3

Tomando logaritmo natural, chega-se a
\ln\!\bigl(\tfrac{\tau_1}{\tau_2}\bigr) = -\frac{Q}{R}\Bigl(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\Bigr).
Desse modo, isolamos Q:
Q = -R\;\frac{\ln(\tau_1/\tau_2)}{\,(1/T_1 - 1/T_2)}.

Passo 4

Convertendo temperaturas de ^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T_1 = 88^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 361{,}15\;\mathrm{K}, \quad T_2 = 135^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 408{,}15\;\mathrm{K}.
Os tempos são \tau_1 = 9{,}0\times10^3 min e \tau_2 = 200 min. Logo
\ln\!\bigl(\tfrac{\tau_1}{\tau_2}\bigr) = \ln(45)\approx 3{,}8067, \quad \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{1}{361{,}15} - \frac{1}{408{,}15} \approx 3{,}181\times10^{-4}\;\mathrm{K}^{-1}.

Passo 5

Substituindo em
Q = -\,8{,}314\;\frac{3{,}8067}{3{,}181\times10^{-4}} \;\mathrm{J/mol} \approx 9{,}96\times10^{4}\;\mathrm{J/mol},
ou seja,
Q\approx 99{,}6\;\mathrm{kJ/mol}.

Resposta

A energia de ativação do processo é aproximadamente 99\;\mathrm{kJ/mol}.

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