Dê o que se pede:
Qual é a série de Maclaurin de uma função 
  ? Qual a relação dessa série com a série de potências da função?
Qual é a série de Maclaurin de uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber qual é a série de Maclaurin de uma função 
  e como essa série se relaciona com a série de potências da função. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor e séries de potências, que ajudam a representar funções de maneira mais simples usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de 
 . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função 
  é:
Aqui, 
  representa a 
 -ésima derivada de 
  avaliada em 0, e 
  é o fatorial de 
 .
Passo 3
Agora, sobre a relação com a série de potências da função. A série de potências é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos que são potências de 
 , geralmente na forma:
A série de Maclaurin é, na verdade, uma série de potências específica onde os coeficientes 
  são dados por 
 . Ou seja, toda série de Maclaurin é uma série de potências, mas com coeficientes determinados pelas derivadas da função no ponto 0.
Resposta
A série de Maclaurin de uma função 
  é dada por:
Essa série é um tipo específico de série de potências, onde os coeficientes são calculados pelas derivadas de 
  avaliadas em zero. Portanto, a série de Maclaurin é uma forma particular da série de potências da função 
 .