Um pêndulo simples de massa
e comprimento
oscila sobre uma plataforma de massa
, a qual está sobre uma superfície livre de atrito, num local onde o módulo da aceleração da gravidade é g. Determine a frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples com massa $ m_{1} $ e comprimento $ L $ que oscila sobre uma plataforma com massa $ m_{2} $. Essa plataforma está em uma superfície sem atrito, e a aceleração da gravidade é $ g $. Precisamos determinar a frequência angular $ \omega $ do pêndulo para pequenas oscilações.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de dinâmica de sistemas ligados e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças envolvidas no sistema. O pêndulo está sujeito à força gravitacional, que tenta puxá-lo para baixo, e à força de restauração que o faz oscilar. Como a plataforma também pode se mover, precisamos considerar como ela responde ao movimento do pêndulo.
Passo 3
Para pequenas oscilações, podemos aproximar o movimento do pêndulo como sendo harmônico simples. A frequência angular $ \omega $ está relacionada à constante elástica efetiva do sistema e à massa total que está oscilando.
Passo 4
A constante elástica efetiva $ k $ para o pêndulo pode ser derivada da força restauradora devido à gravidade. Para um pêndulo simples, $ k = \frac{m_{1} g}{L} $.
Passo 5
Agora, precisamos considerar a massa efetiva do sistema. Como a plataforma está oscilando sem atrito, ela contribui para a massa total que está em movimento. A massa total efetiva $ m_{ef} $ é dada por:
Passo 6
Com a constante elástica $ k $ e a massa efetiva $ m_{ef} $, podemos usar a fórmula da frequência angular para um sistema harmônico simples:
Passo 7
Substituindo $ k = \frac{m_{1} g}{L} $ e $ m_{ef} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} $ na equação da frequência angular:
Resposta
A frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações é: