Um pêndulo simples de massa m1 e comprimento L oscila sobre uma plataforma de massa m2, a qual está sobre uma superfície livre de atrito, num local onde o módulo da aceleração da gravidade é g. Determine a frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações.
l a [(g m1 m2) /(m1+m2) L]^1 / 2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples com massa $ m_{1} $ e comprimento $ L $ que oscila sobre uma plataforma com massa $ m_{2} $. Essa plataforma está em uma superfície sem atrito, e a aceleração da gravidade é $ g $. Precisamos determinar a frequência angular $ \omega $ do pêndulo para pequenas oscilações.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de dinâmica de sistemas ligados e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças envolvidas no sistema. O pêndulo está sujeito à força gravitacional, que tenta puxá-lo para baixo, e à força de restauração que o faz oscilar. Como a plataforma também pode se mover, precisamos considerar como ela responde ao movimento do pêndulo.

Passo 3

Para pequenas oscilações, podemos aproximar o movimento do pêndulo como sendo harmônico simples. A frequência angular $ \omega $ está relacionada à constante elástica efetiva do sistema e à massa total que está oscilando.

Passo 4

A constante elástica efetiva $ k $ para o pêndulo pode ser derivada da força restauradora devido à gravidade. Para um pêndulo simples, $ k = \frac{m_{1} g}{L} $.

Passo 5

Agora, precisamos considerar a massa efetiva do sistema. Como a plataforma está oscilando sem atrito, ela contribui para a massa total que está em movimento. A massa total efetiva $ m_{ef} $ é dada por:
mef

Passo 6

Com a constante elástica $ k $ e a massa efetiva $ m_{ef} $, podemos usar a fórmula da frequência angular para um sistema harmônico simples:
k

Passo 7

Substituindo $ k = \frac{m_{1} g}{L} $ e $ m_{ef} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} $ na equação da frequência angular:

Resposta

A frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações é:
omega = raizg (m1 + m2)L m2

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