Uma pequena esfera de massa
, raio
e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
e altura
e o trecho
é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C;
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C;
Passo 1
Beleza, vamos resumir a questão! Temos uma esfera pequena com massa
e raio
que rola sem deslizar por um trilho que tem um plano inclinado com ângulo de
e altura de
. A esfera começa do repouso no ponto
e chega ao ponto
, que está no plano horizontal. Vamos usar o conceito de conservação de energia para calcular as energias cinéticas de translação e rotação no ponto
. Para isso, vamos precisar saber como a energia potencial se transforma em energia cinética durante o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional no ponto
é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Aqui, toda essa energia potencial será convertida em energia cinética de translação e rotação no ponto
.
Passo 3
As energias cinéticas que vamos considerar são:
- Energia cinética de translação:
- Energia cinética de rotação:
onde:
-
é o momento de inércia da esfera, -
é a velocidade angular.
Como a esfera rola sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear
e a angular
:
Passo 4
Sabemos que o momento de inércia para uma esfera sólida é:
Substituindo
na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 5
Agora, aplicando a conservação da energia. A energia total no ponto
(energia potencial) deve ser igual à soma das energias cinéticas no ponto
:
Somando as parcelas de
:
Passo 6
Podemos simplificar para encontrar a velocidade
no ponto
:
Agora, substituindo os valores:
Passo 7
Com a velocidade encontrada, calculamos as energias cinéticas:
- Energia cinética de translação:
- Energia cinética de rotação:
Resposta
No ponto
, a energia cinética de translação é aproximadamente
e a energia cinética de rotação é aproximadamente
.