Uma pequena esfera de massa m=100 g, raio r=1,0 cm e momento de inércia I=(2 / 5) m r^2 é largada do repouso no ponto A e rola sem deslizar ao longo de um trilho A B C (Figura a lado). O trecho A B é um plano inclinado de ângulo theta=30^circ e altura h=1,0 m e o trecho B C é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C;

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão! Temos uma esfera pequena com massa m = 100 g e raio r = 1,0 cm que rola sem deslizar por um trilho que tem um plano inclinado com ângulo de 30^circ e altura de 1,0 m. A esfera começa do repouso no ponto A e chega ao ponto C, que está no plano horizontal. Vamos usar o conceito de conservação de energia para calcular as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C. Para isso, vamos precisar saber como a energia potencial se transforma em energia cinética durante o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional no ponto A é dada por:
Epotencial = mgh
onde:
  • m é a massa da esfera,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2),
  • h é a altura.
Aqui, toda essa energia potencial será convertida em energia cinética de translação e rotação no ponto C.

Passo 3

As energias cinéticas que vamos considerar são:
  • Energia cinética de translação:
Ecinética trans = 12mv^2 é
  • Energia cinética de rotação:
Ecinética rot = 12Iomega^2 é
onde:
  • I é o momento de inércia da esfera,
  • omega é a velocidade angular.
Como a esfera rola sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear v e a angular omega:
v = omega r Rightarrow omega = vr

Passo 4

Sabemos que o momento de inércia para uma esfera sólida é:
I = 25mr^2
Substituindo omega = vr na expressão da energia cinética de rotação:
Ecinética rot = 12 cdot 25mr^2 cdot (vr)^2 = 15mv^2 é

Passo 5

Agora, aplicando a conservação da energia. A energia total no ponto A (energia potencial) deve ser igual à soma das energias cinéticas no ponto C:
mgh = 12mv^2 + 15mv^2
Somando as parcelas de v^2:
mgh = (12 + 15)mv^2 = 710mv^2

Passo 6

Podemos simplificar para encontrar a velocidade v no ponto C:
v^2 = 107gh Rightarrow v = raiz107gh
Agora, substituindo os valores:
v = raiz107 cdot 9,81 cdot 1,0 approx raiz14,01 approx 3,75 m/s

Passo 7

Com a velocidade encontrada, calculamos as energias cinéticas:
  • Energia cinética de translação:
Ecinética trans = 12 cdot 0,1 cdot (3,75)^2 approx 12 cdot 0,1 cdot 14,06 approx 0,703 J é
  • Energia cinética de rotação:
Ecinética rot = 15 cdot 0,1 cdot (3,75)^2 approx 15 cdot 0,1 cdot 14,06 approx 0,281 J é

Resposta

No ponto C, a energia cinética de translação é aproximadamente 0,70 J e a energia cinética de rotação é aproximadamente 0,28 J.

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