Um pequeno corpo a
foi posto, no instante
, em um meio mantido à temperatura constante de
. Depois de 20 minutos, sua temperatura era
. Determine tempo em minutos necessário para que o corpo atingisse a temperatura de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um corpo que começa a
e é colocado em um ambiente que está sempre a
. Após 20 minutos, a temperatura do corpo cai para
. Queremos descobrir quanto tempo vai levar para que esse corpo atinja
. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para resolver isso. Ela nos ajuda a relacionar a taxa de mudança de temperatura de um objeto com a diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A equação diferencial é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente. -
é a constante de proporcionalidade positiva.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Podemos escrever
como outra constante
, então:
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
. No tempo
, a temperatura
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Sabemos que após 20 minutos,
. Vamos usar isso para encontrar
:
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Agora que temos
, podemos retornar à equação geral e substituir os valores para encontrar o tempo necessário para que a temperatura atinja
:
Subtraindo 20:
Passo 9
Resolver para
:
Substituindo
:
Passo 10
Calculando os valores:
Resposta
Portanto, o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de
é aproximadamente 8,82 minutos.