Um pequeno corpo a 80 graus C foi posto, no instante t = 0, em um meio mantido à temperatura constante de 20 graus Celsius. Depois de 20 minutos, sua temperatura era 25 graus C. Determine tempo em minutos necessário para que o corpo atingisse a temperatura de 40 graus C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um corpo que começa a 80 graus C e é colocado em um ambiente que está sempre a 20 graus Celsius. Após 20 minutos, a temperatura do corpo cai para 25 graus C. Queremos descobrir quanto tempo vai levar para que esse corpo atinja 40 graus C. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para resolver isso. Ela nos ajuda a relacionar a taxa de mudança de temperatura de um objeto com a diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A equação diferencial é:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura do ambiente.
  • é a constante de proporcionalidade positiva.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Exponenciando ambos os lados:
Podemos escrever como outra constante , então:

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e . No tempo , a temperatura :
Então, a equação fica:

Passo 6

Sabemos que após 20 minutos, . Vamos usar isso para encontrar :
Subtraindo 20 de ambos os lados:

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 8

Agora que temos , podemos retornar à equação geral e substituir os valores para encontrar o tempo necessário para que a temperatura atinja :
Subtraindo 20:

Passo 9

Resolver para :
Substituindo :

Passo 10

Calculando os valores:

Resposta

Portanto, o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 40 graus C é aproximadamente 8,82 minutos.

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