Um pequeno fabricante de peças estima que o tempo necessário para um operário montar determinado item dependa do número de itens previamente montados por ele. Se o tempo (em minutos) necessário para montar o
-ésimo item é dado por
, determine aproximadamente o tempo necessário para montar as seguintes quantidades: (a) 1 item; (b) 4 itens; © 8 itens; (d) 16 itens.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função que determina o tempo necessário para montar o
-ésimo item, que é
. Nosso objetivo é calcular aproximadamente o tempo total necessário para montar 1, 4, 8 e 16 itens. Para isso, vamos precisar somar o tempo de montagem de cada item até a quantidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa função nos diz quanto tempo leva para montar o
-ésimo item, em minutos. O termo
significa que o tempo de montagem diminui conforme o número de itens já montados aumenta, o que faz sentido porque o operário fica mais experiente.
Passo 3
Vamos calcular o tempo necessário para montar 1 item. Isso significa que só temos o primeiro item para montar.
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo para montar 4 itens. Precisamos somar o tempo de montagem de cada um dos 4 itens:
Já calculamos
minutos.
Vamos calcular
:
Então:
Agora,
:
Então:
E
:
Então:
Agora somamos todos:
Passo 5
Vamos seguir o mesmo processo para montar 8 itens. Precisamos calcular
até
e somar todos.
Já temos
a
. Vamos calcular
a
:
Agora, somando todos:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o tempo para montar 16 itens. Continuamos a mesma lógica, calculando
de
a
e somando todos.
Deixe-me resumir os cálculos para
até
:
Agora, somamos todos de
a
:
Resposta
Resumindo, os tempos aproximados necessários para montar as quantidades solicitadas são:
- (a) 1 item: 18,16 minutos
- (b) 4 itens: 64,14 minutos
- © 8 itens: 115,41 minutos
- (d) 16 itens: 187,18 minutos