Um pequeno fabricante de peças estima que o tempo necessário para um operário montar determinado item dependa do número de itens previamente montados por ele. Se o tempo (em minutos) necessário para montar o n-ésimo item é dado por f(n) = 20(n + 1)^(-0.4) + 3, determine aproximadamente o tempo necessário para montar as seguintes quantidades: (a) 1 item; (b) 4 itens; © 8 itens; (d) 16 itens.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função que determina o tempo necessário para montar o -ésimo item, que é . Nosso objetivo é calcular aproximadamente o tempo total necessário para montar 1, 4, 8 e 16 itens. Para isso, vamos precisar somar o tempo de montagem de cada item até a quantidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa função nos diz quanto tempo leva para montar o -ésimo item, em minutos. O termo significa que o tempo de montagem diminui conforme o número de itens já montados aumenta, o que faz sentido porque o operário fica mais experiente.

Passo 3

Vamos calcular o tempo necessário para montar 1 item. Isso significa que só temos o primeiro item para montar.
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo para montar 4 itens. Precisamos somar o tempo de montagem de cada um dos 4 itens:
Já calculamos minutos.
Vamos calcular :
Então:
Agora, :
Então:
E :
Então:
Agora somamos todos:

Passo 5

Vamos seguir o mesmo processo para montar 8 itens. Precisamos calcular até e somar todos.
Já temos a . Vamos calcular a :
Agora, somando todos:

Passo 6

Por fim, vamos calcular o tempo para montar 16 itens. Continuamos a mesma lógica, calculando de a e somando todos.
Deixe-me resumir os cálculos para até :
Agora, somamos todos de a :

Resposta

Resumindo, os tempos aproximados necessários para montar as quantidades solicitadas são:
  • (a) 1 item: 18,16 minutos
  • (b) 4 itens: 64,14 minutos
  • © 8 itens: 115,41 minutos
  • (d) 16 itens: 187,18 minutos

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