PERFIS DE ABAS LARGAS
  1. Sabendo-se que a viga é um perfil laminado de aço \mathrm{W} 200 \times 46,1 e que P=30 \mathrm{KN}, L=1,2 \mathrm{~m} e E=200 \mathrm{GPa}, determinar a deflexão no ponto A.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a deflexão no ponto A (ponta livre) de uma viga em balanço (fixa em C) submetida a duas cargas concentradas para baixo: uma em A e outra em B, com B a meio comprimento. As informações dadas são:
  • Carga: P=30\\ \mathrm{kN}.
  • Comprimento total: L=1,2\\ \mathrm{m}.
  • Módulo de elasticidade: E=200\\ \mathrm{GPa}.
  • Perfil da viga: laminado de aço \mathrm{W}\,200\times46{,}1 (dados geométricos fornecidos na tabela da figura).
O que vou calcular: a deflexão vertical em A (sinal para baixo).
Observação: vou usar superposição linear (a viga é elástica linear) — somo as deflexões causadas por cada carga separadamente.

Passo 2

Posições das cargas (medidas a partir do apoio fixo em C, tomando x=0 em C e x=L em A):
  • Carga em A: localizada em x=a_1=L.
  • Carga em B: localizada em x=a_2=L/2.
Justificativa da estratégia: para cada carga pontual P colocada a uma distância a do apoio, existe uma fórmula fechada para a deflexão no ponto livre x=L. Como o comportamento é linear, somo os efeitos das duas cargas.

Passo 3

Fórmula para deflexão no extremo livre devido a uma carga pontual genérica
Considere um cantiléver de comprimento L com uma carga concentrada P aplicada na posição x=a (medida a partir do apoio). A curvatura é dada por
E I \, \dfrac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2}=M(x),
onde v(x) é a deflexão e M(x) o momento fletor. Para x\ge a (trecho entre a carga e a ponta livre) tem-se M(x)=-P(x-a) (sinal negativo porque a carga gera momento negativo conforme convenção). Integrando duas vezes e aplicando as condições de contorno do cantiléver (no apoio x=0: v(0)=0 e v'(0)=0), obtém-se a deflexão no extremo x=L
\delta_{\text{extremo}}(a)=\dfrac{P\,a^2(3L-a)}{6 E I}.
Esta fórmula verifica casos conhecidos: se a=L (carga na ponta) resulta \delta=PL^3/(3EI); se a=0 (carga no apoio) resulta \delta=0.

Passo 4

Aplicando superposição às duas cargas
  • Para a carga em A (a carga está na ponta): a_1=L. Assim
\delta_1=\dfrac{P\,L^2(3L-L)}{6EI}=\dfrac{P\,L^3}{3EI}.
  • Para a carga em B: a_2=\dfrac{L}{2}. Assim
\delta_2=\dfrac{P\,(L/2)^2\bigl(3L-L/2\bigr)}{6EI} =\dfrac{P\,\dfrac{L^2}{4}\cdot\dfrac{5L}{2}}{6EI} =\dfrac{5}{48}\cdot\dfrac{P\,L^3}{EI}.
Somando
\delta_A=\delta_1+\delta_2 =\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{48}\right)\dfrac{P\,L^3}{EI} =\dfrac{7}{16}\cdot\dfrac{P\,L^3}{EI}.

Passo 5

Dados geométricos do perfil (peguei da tabela da figura): o momento de inércia em relação ao eixo forte X\!-\!X para o perfil \mathrm{W}\,200\times46{,}1 é
I_x = 45{,}8\times 10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Converter para \mathrm{m}^4: 1\\ \mathrm{mm}^4 =10^{-12}\\ \mathrm{m}^4, logo
I = 45{,}8\times 10^{6}\times 10^{-12}\\ \mathrm{m}^4=45{,}8\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^4=4{,}58\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (faço as conversões explicitamente):
  • P=30\\ \mathrm{kN}=30{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • L=1{,}2\\ \mathrm{m}\Rightarrow L^3=1{,}2^3=1{,}728\\ \mathrm{m}^3.
  • E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • I=4{,}58\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.
Calcular primeiro o termo \dfrac{P\,L^3}{EI}:
\dfrac{P\,L^3}{EI}=\dfrac{30{,}0\times10^{3}\cdot 1{,}728}{(200\times10^{9})\cdot(4{,}58\times10^{-5})}.
Numerador: 30{,}0\times10^{3}\cdot1{,}728=51{,}840. Denominador:
200\times10^{9}\cdot4{,}58\times10^{-5}=200\cdot4{,}58\times10^{9-5}=916\times10^{4}=9{,}16\times10^{6}.
Então
\dfrac{P\,L^3}{EI}=\dfrac{51{,}840}{9{,}16\times10^{6}}\approx 5{,}656\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{7}{16}=0{,}4375:
\delta_A=\dfrac{7}{16}\cdot 5{,}656\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}476\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}48\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida:
  • Unidade coerente (m convertido para mm).
  • Valor razoável para uma viga curta e relativamente rígida: deslocamento pequeno (ordem de milímetros).
  • Sinal: para baixo (cargas atuam para baixo).
Força: você está indo bem — isso aqui é aplicação direta das fórmulas clássicas de vigas em balanço com superposição. Se quiser, eu mostro o desenvolvimento completo da integração para obter a fórmula \delta_{\text{extremo}}(a) passo a passo (com as expressões de M(x), integrais e condições de contorno).

Resposta

\delta_A = 2{,}48\\ \mathrm{mm} (para baixo)

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