PROBLEMA RESOLVIDO 9.3
(a) Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados. (As propriedades dessa superficie foram consideradas no Problema Resolvido 5.4.) (b) Usando os resultados do item
, determine o raio de giração da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o momento de inércia da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados.
- (b) Usar os resultados do item (a) para determinar o raio de giração da superfície em relação a cada um dos eixos coordenados.
Informações fornecidas (peguei esses dados da figura):
- A fronteira superior da região é a curva
. - A região está entre
e (base de comprimento ). - A altura da região no extremo
é ; portanto vale a relação . - A região é aquela sob a curva
e acima do eixo (ou seja, desde até , para ).
Observação necessária para resolver: será usado o elemento de área em forma de tiras verticais, e os momentos de inércia a calcular são os segundos momentos de área geométricos:
- Momento de inércia em relação ao eixo
: . - Momento de inércia em relação ao eixo
: .
Passo 2
Calcular a área
da região (pois será útil depois para o raio de giração).
Escolhe-se uma tira vertical em de espessura
. A altura da tira é
. O elemento de área é
Escolhe-se uma tira vertical em
Integrando de
até
,
Agora calcular a integral:
Usando
(pois
), pode-se escrever também
Passo 3
Derivar uma expressão para
.
Pega-se novamente a tira vertical em de espessura
e altura
. Essa tira, sendo um retângulo de altura
e largura
, tem momento de inércia em relação ao eixo
obtido integrando
ao longo da altura da tira:
Pega-se novamente a tira vertical em
Portanto
Substituindo e integrando:
Passo 4
Derivar uma expressão para
.
Usando a mesma tira vertical, seu elemento de área é . O momento da tira em relação ao eixo
é
. Assim
Usando a mesma tira vertical, seu elemento de área é
Calculando a integral:
Passo 5
Expressar
e
em função de
e
(substituindo
).
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Definir e calcular os raios de giração.
O raio de giração relativo a um eixo é dado pela raiz quadrada da razão entre o momento de inércia e a área total:
O raio de giração
Usando
, calcular
e
.
Para
:
Logo
Para
:
Logo