PROBLEMA RESOLVIDO 9.3
(a) Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados. (As propriedades dessa superficie foram consideradas no Problema Resolvido 5.4.) (b) Usando os resultados do item a, determine o raio de giração da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o momento de inércia da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados.
  • (b) Usar os resultados do item (a) para determinar o raio de giração da superfície em relação a cada um dos eixos coordenados.
Informações fornecidas (peguei esses dados da figura):
  • A fronteira superior da região é a curva y=kx^{2}.
  • A região está entre x=0 e x=a (base de comprimento a).
  • A altura da região no extremo x=a é b; portanto vale a relação b=k\,a^{2}.
  • A região é aquela sob a curva y=kx^{2} e acima do eixo x (ou seja, desde y=0 até y=kx^{2}, para 0\le x\le a).
Observação necessária para resolver: será usado o elemento de área em forma de tiras verticais, e os momentos de inércia a calcular são os segundos momentos de área geométricos:
  • Momento de inércia em relação ao eixo x: \,I_{x}=\displaystyle\iint y^{2}\,dA.
  • Momento de inércia em relação ao eixo y: \,I_{y}=\displaystyle\iint x^{2}\,dA.

Passo 2

Calcular a área A da região (pois será útil depois para o raio de giração).
Escolhe-se uma tira vertical em x de espessura dx. A altura da tira é y=kx^{2}. O elemento de área é
dA = y\,dx = kx^{2}\,dx.
Integrando de x=0 até x=a,
A=\int_{0}^{a} kx^{2}\,dx.
Agora calcular a integral:
A = k\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=k\frac{a^{3}}{3}.
Usando k=\dfrac{b}{a^{2}} (pois b=k a^{2}), pode-se escrever também
A=\frac{b}{a^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{a b}{3}.

Passo 3

Derivar uma expressão para I_{x}.
Pega-se novamente a tira vertical em x de espessura dx e altura y=kx^{2}. Essa tira, sendo um retângulo de altura y e largura dx, tem momento de inércia em relação ao eixo x obtido integrando y'^{2} ao longo da altura da tira:
\text{momento da tira em relação a }x = \int_{0}^{y} y'^{2}\,dy' \cdot dx = \frac{y^{3}}{3}\,dx.çã
Portanto
I_{x}=\int_{0}^{a} \frac{y^{3}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{a} \big(kx^{2}\big)^{3}\,dx.
Substituindo e integrando:
I_{x}=\frac{1}{3}k^{3}\int_{0}^{a} x^{6}\,dx =\frac{1}{3}k^{3}\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{a} =\frac{k^{3}a^{7}}{21}.

Passo 4

Derivar uma expressão para I_{y}.
Usando a mesma tira vertical, seu elemento de área é dA=y\,dx. O momento da tira em relação ao eixo y é x^{2}dA=x^{2}y\,dx. Assim
I_{y}=\int_{0}^{a} x^{2}y\,dx = \int_{0}^{a} x^{2}\big(kx^{2}\big)\,dx = k\int_{0}^{a} x^{4}\,dx.
Calculando a integral:
I_{y}=k\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{a}=\frac{k a^{5}}{5}.

Passo 5

Expressar I_{x} e I_{y} em função de a e b (substituindo k=b/a^{2}).
Para I_{x}:
I_{x}=\frac{k^{3}a^{7}}{21} =\frac{\big(\dfrac{b}{a^{2}}\big)^{3}a^{7}}{21} =\frac{b^{3}a}{21}.
Para I_{y}:
I_{y}=\frac{k a^{5}}{5} =\frac{b}{a^{2}}\cdot\frac{a^{5}}{5} =\frac{b a^{3}}{5}.

Passo 6

Definir e calcular os raios de giração.
O raio de giração r relativo a um eixo é dado pela raiz quadrada da razão entre o momento de inércia e a área total:
r_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{A}},\qquad r_{y}=\sqrt{\frac{I_{y}}{A}}.
Usando A=\dfrac{a b}{3}, calcular r_{x}^{2} e r_{y}^{2}.
Para r_{x}:
r_{x}^{2}=\frac{I_{x}}{A}=\frac{\dfrac{b^{3}a}{21}}{\dfrac{a b}{3}} =\frac{b^{3}a}{21}\cdot\frac{3}{a b} =\frac{3 b^{2}}{21}=\frac{b^{2}}{7}.
Logo
r_{x}=\frac{b}{\sqrt{7}}.
Para r_{y}:
r_{y}^{2}=\frac{I_{y}}{A}=\frac{\dfrac{b a^{3}}{5}}{\dfrac{a b}{3}} =\frac{b a^{3}}{5}\cdot\frac{3}{a b} =\frac{3 a^{2}}{5}.
Logo
r_{y}=a\sqrt{\frac{3}{5}}.

Resposta

I_{x}=\dfrac{b^{3}a}{21}
I_{y}=\dfrac{b a^{3}}{5}
r_{x}=\dfrac{b}{\sqrt{7}}
r_{y}=a\sqrt{\dfrac{3}{5}}

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