Pergunta 22 pts
Considere as afirmações abaixo:
I. A integral do produto de duas funções é igual ao produto das integrais de cada função.
II. A integral da soma de duas funções é igual a soma das integrais de cada função.
III. Para toda função f(x, y) a integral dupla de f(x, y) em uma região retangular [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \times[\mathrm{c}, \mathrm{d}] fornece o volume do sólido limitado superiormente pela função f(x, y) e inferiormente pelo retângulo [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \times[\mathrm{c}, \mathrm{d}].
IV. Para qualquer função f(x, y) a ordem de integração fornece o mesmo resultado.
V. \iint \frac{1}{x y} d x d y=\iint \frac{1}{x y} d y d x em qualquer região R
Considere \mathrm{m}=\mathrm{n}^{\circ} de afirmações corretas e \mathrm{n}=\mathrm{n}^{\circ} de afirmações incorretas.
O valor m-n é igual a

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações (I a V) sobre integrais e pede para contar quantas são corretas e quantas são incorretas, chamando de \mathrm{m} o número de afirmações corretas e de \mathrm{n} o número de afirmações incorretas, e por fim pedir o valor de \mathrm{m}-\mathrm{n}.
As afirmações são:
I. A integral do produto de duas funções é igual ao produto das integrais de cada função.
II. A integral da soma de duas funções é igual a soma das integrais de cada função.
III. Para toda função \,f(x,y)\, a integral dupla de f(x,y) em uma região retangular [\mathrm{a},\mathrm{b}]\times[\mathrm{c},\mathrm{d}] fornece o volume do sólido limitado superiormente pela função f(x,y) e inferiormente pelo retângulo [\mathrm{a},\mathrm{b}]\times[\mathrm{c},\mathrm{d}].
IV. Para qualquer função \,f(x,y)\, a ordem de integração fornece o mesmo resultado.
V. \displaystyle \iint \frac{1}{x y}\,dx\,dy=\iint \frac{1}{x y}\,dy\,dx em qualquer região R.
Pergunta final: calcular \mathrm{m}-\mathrm{n}.

Passo 2

Plano de ataque (sem pular etapas): vou analisar cada afirmação separadamente, explicando a propriedade ou teorema relevante (ou por que a afirmação é falsa), e quando for conveniente darei um contraexemplo concreto e simples, com contas detalhadas. No fim conto quantas eram verdadeiras e quantas falsas e faço \mathrm{m}-\mathrm{n}. Vou manter a linguagem direta e mostrar os cálculos passo a passo.

Passo 3

Afirmação: “A integral do produto de duas funções é igual ao produto das integrais de cada função.”
Por que isso deve ser julgado: existe uma propriedade distributiva/linear das integrais sobre soma, mas não existe uma propriedade que transforme produto de integrais em inteiro do produto em geral.
Contraexemplo simples (uma conta que dá para fazer na prova sem calculadora):
Considere f(x)=x e g(x)=x no intervalo [0,1]. Então
\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx=\int_{0}^{1} x^2\,dx=\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Por outro lado,
\left(\int_{0}^{1} f(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} g(x)\,dx\right)=\left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)^2=\left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{1}{3}\neq \tfrac{1}{4}, a igualdade proposta é falsa no geral. Observação: às vezes em casos especiais (por exemplo funções constantes convenientemente escolhidas) a igualdade pode acontecer por coincidência, mas não é uma propriedade geral.
Conclusão: I é falsa.

Passo 4

Afirmação: “A integral da soma de duas funções é igual a soma das integrais de cada função.”
Explicação da propriedade (razão/teorema): essa é a linearidade da integral. Para integrais definidas (Riemann ou Lebesgue) válidas sob hipóteses usuais (funções integráveis), vale
\int_{A} (f+g)=\int_{A} f+\int_{A} g,
onde A é o intervalo ou a região de integração. A demonstração formal segue da definição de integral como limite de somas de Riemann (ou das propriedades lineares do operador integral).
Exemplo numérico muito simples para fixar: em [0,1], tome f(x)=x e g(x)=1. Então
\int_{0}^{1} (x+1)\,dx=\left[\tfrac{x^2}{2}+x\right]_0^1=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
e
\int_{0}^{1} x\,dx+\int_{0}^{1}1\,dx=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
confirma a propriedade.
Conclusão: II é verdadeira.

Passo 5

Afirmação: “Para toda função \,f(x,y)\, a integral dupla de f(x,y) em uma região retangular [\mathrm{a},\mathrm{b}]\times[\mathrm{c},\mathrm{d}] fornece o volume do sólido limitado superiormente pela função f(x,y) e inferiormente pelo retângulo [\mathrm{a},\mathrm{b}]\times[\mathrm{c},\mathrm{d}].”
Análise cuidadosa: a interpretação geométrica “volume sob a superfície” funciona quando a função descreve uma altura não-negativa sobre cada ponto do retângulo, ou quando se quer o “volume orientado” (volume com sinal). Em geral, a integral dupla
\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dA
é o volume sob z=f(x,y) acima da base se f(x,y)\ge 0 em toda a região. Se f assume valores negativos, a integral retorna uma quantidade com sinal (parte positiva menos parte negativa), não o volume geométrico total (sempre positivo).
Contraexemplo simples: escolha f(x,y)=-1 em [0,1]\times[0,1]. Então
\iint_{[0,1]\times[0,1]} f(x,y)\,dA=\iint_{[0,1]\times[0,1]} -1\,dA = -1\cdot \text{(área do retângulo)}=-1.áâ
Um “volume” geométrico não pode ser negativo; portanto a afirmação “para toda função” está errada. A afirmação correta seria: se f(x,y)\ge 0 em todo o retângulo, então a integral dupla dá o volume do sólido situado entre a superfície z=f(x,y) e a base retangular.
Conclusão: III é falsa.

Passo 6

Afirmação: “Para qualquer função \,f(x,y)\, a ordem de integração fornece o mesmo resultado.”
Explicação das condições reais: a igualdade entre as integrais iteradas
\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx \quad\text{e}\quad \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy
é garantida por teoremas clássicos (Fubini e Tonelli) sob hipóteses como continuidade de f no retângulo ou, mais geralmente, integrabilidade absoluta (ou simplesmente integrabilidade e outras condições técnicas). Mas dizer “para qualquer função” é demasiado forte: existem funções para as quais as integrais iteradas não existem ou existem mas têm valores diferentes quando se troca a ordem (isso ocorre em casos de integrais impropriamente convergentes ou sem convergência absoluta).
Comentário didático (o que lembrar para prova): regra prática — se f é contínua no retângulo, pode trocar a ordem sem problema. Se f é apenas mensurável e não negativa, Tonelli garante trocar. Se f é integrável absolutamente ( \iint |f|<\infty), Fubini garante trocar. Fora desses casos, é preciso cuidado.
Exemplo (referência clássica): existem funções construídas como “funções oscilantes com decaimento” em torno da origem para as quais as integrais iteradas existem mas dão resultados diferentes; portanto a afirmação universal é incorreta. (Não reproduzo aqui a construção técnica completa porque exigiria cálculo técnico pesado, mas o ponto pedagógico é: sem hipóteses como continuidade ou integrabilidade absoluta, não se pode afirmar que a ordem sempre pode ser trocada.)
Conclusão: IV é falsa.

Passo 7

Afirmação: " \displaystyle \iint \frac{1}{x y}\,dx\,dy=\iint \frac{1}{x y}\,dy\,dx em qualquer região R."
Análise: essa afirmação é parecida com a IV, mas aplicada a uma função específica f(x,y)=\dfrac{1}{xy}. A função 1/(xy) tem singularidades nas retas x=0 e y=0. Se a região R estiver afastada dessas linhas (por exemplo R=[1,2]\times[1,2]), a função é contínua em R e a troca de ordem é válida — então a igualdade vale nesse caso. Mas o enunciado diz "em qualquer região R", o que inclui regiões que cruzam as singularidades, ou que fazem integrais impróprias. Nesses casos a integral dupla pode não existir como integral usual, ou as integrais iteradas podem ser divergentes ou mal comportadas; portanto a igualdade não se garante para toda região R.
Contraexemplo prático para mostrar a falha da afirmação universal: escolha uma região que inclua a linha x=0, por exemplo R=[-1,1]\times[1,2]. Para cada y\in[1,2] fixo, a integral
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x y}\,dx=\frac{1}{y}\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx
é uma integral imprópria que não está bem definida (a primitiva \ln|x| tem descontinuidade em 0 e o limite bilaterial não converge no sentido próprio). Assim a iteração com dx interna é problemática. A troca de ordem também encontrará problemas similares. Ou seja, para certas regiões R a expressão não faz sentido como integral usual e não se pode afirmar a igualdade. Portanto a afirmação "em qualquer região R" é falsa.
Conclusão: V é falsa.

Passo 8

Contando as afirmações verdadeiras e falsas:
  • Verdadeiras: apenas a II. Logo \mathrm{m}=1.
  • Falsas: I, III, IV, V — ou seja quatro afirmações falsas. Logo \mathrm{n}=4.
Cálculo:
\mathrm{m}-\mathrm{n}=1-4=-3.

Resposta

-3