O peso médio das esferas metálicas produzidas pela Indústria Zepelin Ltda é de 39 kg , com o desvio padrão de 11 kg . Supondo-se que os pesos seguem distribuição aproximadamente normal estimar a proporção de esferas com peso:
a) Entre 30 e 45 kg
b) Superior a 50 kg
a) Entre 30 e 45 kg
b) Superior a 50 kg
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o peso médio das esferas é de 39 kg e o desvio padrão é de 11 kg. Sabemos que esses pesos seguem uma distribuição normal, que é aquela famosa “curva em forma de sino”. Vamos usar conhecimentos de estatística sobre distribuição normal e Z-scores para calcular a proporção de esferas com pesos:
a) Entre 30 e 45 kg
b) Superior a 50 kg
a) Entre 30 e 45 kg
b) Superior a 50 kg
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. Ela descreve como os valores de uma variável estão distribuídos, com a maioria dos valores próximos da média e menos à medida que nos afastamos dela. O desvio padrão nos diz quanto os valores tendem a se afastar da média.
Para resolver isso, vamos usar o Z-score, que transforma nossos valores em uma escala padrão, permitindo usar tabelas de probabilidades da distribuição normal.
Passo 3
Parte a) Proporção entre 30 e 45 kg
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Calcular o Z-score para 30 kg:
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Calcular o Z-score para 45 kg:
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Usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades:
- Para $ Z = -0,818 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,207.
- Para $ Z = 0,545 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,707.
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Calcular a proporção entre 30 e 45 kg:Ou seja, 50% das esferas estão entre 30 e 45 kg.
Passo 4
Parte b) Proporção superior a 50 kg
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Calcular o Z-score para 50 kg:
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Usar a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade acumulada até Z = 1,0:
- Para $ Z = 1,0 $, a probabilidade acumulada é 0,8413.
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Calcular a proporção superior a 50 kg:Ou seja, aproximadamente 15,87% das esferas pesam mais de 50 kg.
Resposta
a) Aproximadamente 50% das esferas têm peso entre 30 e 45 kg.
b) Aproximadamente 15,87% das esferas têm peso superior a 50 kg.
b) Aproximadamente 15,87% das esferas têm peso superior a 50 kg.