O peso médio das esferas metálicas produzidas pela Indústria Zepelin Ltda é de 39 kg , com o desvio padrão de 11 kg . Supondo-se que os pesos seguem distribuição aproximadamente normal estimar a proporção de esferas com peso:
a) Entre 30 e 45 kg
b) Superior a 50 kg

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o peso médio das esferas é de 39 kg e o desvio padrão é de 11 kg. Sabemos que esses pesos seguem uma distribuição normal, que é aquela famosa “curva em forma de sino”. Vamos usar conhecimentos de estatística sobre distribuição normal e Z-scores para calcular a proporção de esferas com pesos:
a) Entre 30 e 45 kg
b) Superior a 50 kg

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. Ela descreve como os valores de uma variável estão distribuídos, com a maioria dos valores próximos da média e menos à medida que nos afastamos dela. O desvio padrão nos diz quanto os valores tendem a se afastar da média.
Para resolver isso, vamos usar o Z-score, que transforma nossos valores em uma escala padrão, permitindo usar tabelas de probabilidades da distribuição normal.

Passo 3

Parte a) Proporção entre 30 e 45 kg

  1. Calcular o Z-score para 30 kg:
    Z = 30 - 3911 = -911 approx -0,818
  2. Calcular o Z-score para 45 kg:
    Z = 45 - 3911 = 611 approx 0,545
  3. Usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades:
    • Para $ Z = -0,818 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,207.
    • Para $ Z = 0,545 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,707.
  4. Calcular a proporção entre 30 e 45 kg:
    Z = -0,818
    Ou seja, 50% das esferas estão entre 30 e 45 kg.

Passo 4

Parte b) Proporção superior a 50 kg

  1. Calcular o Z-score para 50 kg:
    Z = 50 - 3911 = 1111 = 1,0
  2. Usar a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade acumulada até Z = 1,0:
    • Para $ Z = 1,0 $, a probabilidade acumulada é 0,8413.
  3. Calcular a proporção superior a 50 kg:
    Z = 1,0
    Ou seja, aproximadamente 15,87% das esferas pesam mais de 50 kg.

Resposta

a) Aproximadamente 50% das esferas têm peso entre 30 e 45 kg.
b) Aproximadamente 15,87% das esferas têm peso superior a 50 kg.

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