Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros | 6 | 8 | 6 | 10 | 8 | 14 | 12 | 14 | 12 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Número de horas sem | 8 | 8 | 12 | 12 | 16 | 16 | 20 | 20 | 24 | 24 |
dormir
Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson;
Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que busca saber se tem relação entre a falta de sono e a capacidade de resolver problemas simples. A matéria envolvida aqui é Estatística, mais especificamente o coeficiente de correlação de Pearson. Para resolver isso, vamos precisar dos dados sobre as horas sem dormir e o número de erros cometidos, além de aplicar a fórmula do coeficiente de correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
Pessoa | Erros (Y) | Horas sem Dormir (X) |
---|---|---|
1 | 6 | 8 |
2 | 8 | 8 |
3 | 6 | 12 |
4 | 10 | 12 |
5 | 8 | 16 |
6 | 14 | 16 |
7 | 12 | 20 |
8 | 14 | 20 |
9 | 12 | 24 |
10 | 16 | 24 |
Agora, vamos calcular algumas somas que vamos precisar:
- Soma de X (ΣX)
- Soma de Y (ΣY)
- Soma de X² (ΣX²)
- Soma de Y² (ΣY²)
- Soma de X * Y (ΣXY)
Vamos calcular cada uma:
- ΣX = 8 + 8 + 12 + 12 + 16 + 16 + 20 + 20 + 24 + 24 = 160
- ΣY = 6 + 8 + 6 + 10 + 8 + 14 + 12 + 14 + 12 + 16 = 106
- ΣX² = 8² + 8² + 12² + 12² + 16² + 16² + 20² + 20² + 24² + 24² = 256 + 256 + 144 + 144 + 256 + 256 + 400 + 400 + 576 + 576 = 3456
- ΣY² = 6² + 8² + 6² + 10² + 8² + 14² + 12² + 14² + 12² + 16² = 36 + 64 + 36 + 100 + 64 + 196 + 144 + 196 + 144 + 256 = 1140
- ΣXY = (86) + (88) + (126) + (1210) + (168) + (1614) + (2012) + (2014) + (2412) + (2416) = 48 + 64 + 72 + 120 + 128 + 224 + 240 + 280 + 288 + 384 = 1,848
Passo 3
Agora que temos todas essas somas, vamos usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson, que é a seguinte:
Onde:
- $ n $ é o número de observações (neste caso, 10)
- $ \sum XY $ é a soma dos produtos de X e Y
- $ \sum X $ e $ \sum Y $ são as somas de X e Y, respectivamente
- $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente
Passo 4
Vamos substituir os valores que calculamos na fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
- Numerador:
- Denominador:
- Primeiro parte:
- Segunda parte:
- Agora multiplicamos as duas partes e tiramos a raiz quadrada:
- Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 1,25.