Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros 6 8 6 10 8 14 12 14 12 16
Número de horas sem 8 8 12 12 16 16 20 20 24 24
dormir
Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que busca saber se tem relação entre a falta de sono e a capacidade de resolver problemas simples. A matéria envolvida aqui é Estatística, mais especificamente o coeficiente de correlação de Pearson. Para resolver isso, vamos precisar dos dados sobre as horas sem dormir e o número de erros cometidos, além de aplicar a fórmula do coeficiente de correlação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
Pessoa Erros (Y) Horas sem Dormir (X)
1 6 8
2 8 8
3 6 12
4 10 12
5 8 16
6 14 16
7 12 20
8 14 20
9 12 24
10 16 24
Agora, vamos calcular algumas somas que vamos precisar:
  • Soma de X (ΣX)
  • Soma de Y (ΣY)
  • Soma de X² (ΣX²)
  • Soma de Y² (ΣY²)
  • Soma de X * Y (ΣXY)
Vamos calcular cada uma:
  • ΣX = 8 + 8 + 12 + 12 + 16 + 16 + 20 + 20 + 24 + 24 = 160
  • ΣY = 6 + 8 + 6 + 10 + 8 + 14 + 12 + 14 + 12 + 16 = 106
  • ΣX² = 8² + 8² + 12² + 12² + 16² + 16² + 20² + 20² + 24² + 24² = 256 + 256 + 144 + 144 + 256 + 256 + 400 + 400 + 576 + 576 = 3456
  • ΣY² = 6² + 8² + 6² + 10² + 8² + 14² + 12² + 14² + 12² + 16² = 36 + 64 + 36 + 100 + 64 + 196 + 144 + 196 + 144 + 256 = 1140
  • ΣXY = (86) + (88) + (126) + (1210) + (168) + (1614) + (2012) + (2014) + (2412) + (2416) = 48 + 64 + 72 + 120 + 128 + 224 + 240 + 280 + 288 + 384 = 1,848

Passo 3

Agora que temos todas essas somas, vamos usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson, que é a seguinte:
r = n sum XY - (sum X)(sum Y)raiz[n sum X^2 - (sum X)^2][n sum Y^2 - (sum Y)^2]
Onde:
  • $ n $ é o número de observações (neste caso, 10)
  • $ \sum XY $ é a soma dos produtos de X e Y
  • $ \sum X $ e $ \sum Y $ são as somas de X e Y, respectivamente
  • $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente

Passo 4

Vamos substituir os valores que calculamos na fórmula:
r = 10 times 1848 - (160 times 106)raiz[10 times 3456 - (160)^2][10 times 1140 - (106)^2]
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
  1. Numerador:
10 times 1848 = 18480
160 times 106 = 16960
18480 - 16960 = 1520
  1. Denominador:
  • Primeiro parte:
10 times 3456 = 34560
160^2 = 25600
34560 - 25600 = 8960
  • Segunda parte:
10 times 1140 = 11400
106^2 = 11236
11400 - 11236 = 164
  • Agora multiplicamos as duas partes e tiramos a raiz quadrada:
8960 times 164 = 1,467,840
raiz1,467,840 approx 1,210.73
  1. Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
r = 15201210.73 approx 1.25

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 1,25.

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