- Uma pesquisa de opinião visa a calcular a proporção de eleitores que irão votar no candidato democrata em uma campanha presidencial americana. A pesquisa de votos almeja ter
de confiança de uma previsão correta, em uma margem de erro de 0,04 da proporção da população.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
- O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de eleitores que votarão no candidato democrata com certa confiança e precisão.
- Informações fornecidas:
- Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada (erro máximo tolerável na estimativa da proporção):
. - Não foi dada nenhuma estimativa prévia da proporção da população
.
- Nível de confiança:
Passo 2
Explicar a ideia básica e a fórmula que usamos para tamanho de amostra em estimativa de proporção (aula rápida e amigável).
- Quando estimamos uma proporção
por uma proporção amostral , o erro padrão de é
onde:
-
é a proporção verdadeira da população (desconhecida), -
é o tamanho da amostra. - Para um nível de confiança
(aqui ), o intervalo de confiança aproximado para é
onde
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita de
é
.
- A margem de erro
é justamente o produto
- Nosso objetivo é isolar
nessa expressão para achar quantos respondentes precisamos.
Passo 3
Isolar
na fórmula da margem de erro (passo algébrico detalhado).
Partindo de
elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora isolo
:
Explicação das variáveis (resumo):
-
: valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado; -
: proporção verdadeira (se desconhecida, usa-se um valor conservador, explicado a seguir); -
: margem de erro desejada; -
: tamanho da amostra que queremos calcular.
Passo 4
Decidir o valor de
a usar. Como o enunciado não deu estimativa prévia, usamos o valor conservador.
- A função
atinge seu máximo em , pois é uma parábola com vértice em . - Usando
temos o caso mais exigente (maior variabilidade), logo o calculado será suficiente mesmo se a proporção real for diferente; por isso é chamado de escolha conservadora. - Assim tomamos
e então .
Passo 5
Determinar
para
de confiança e substituir todos os valores para calcular
.
- Para nível de confiança
temos e . - O valor crítico é
, isto é, o quantil da normal padrão com área à esquerda. O valor tabelado é aproximadamente
- Agora substituímos na fórmula com
e :
Calcule passo a passo:
Passo 6
Arredondamento e interpretação do resultado (como proceder na prova).
- O tamanho de amostra
deve ser um número inteiro. Para garantir que a margem de erro não exceda , deve-se sempre arredondar para cima. - Assim,
deve ser arredondado para
- Interpretação final: com
entrevistados a pesquisa atinge aproximadamente de confiança de que o erro na estimativa da proporção é, no máximo, , assumindo população grande (ou sem correção para população finita).