1. Uma pesquisa de opinião visa a calcular a proporção de eleitores que irão votar no candidato democrata em uma campanha presidencial americana. A pesquisa de votos almeja ter 90 \% de confiança de uma previsão correta, em uma margem de erro de 0,04 da proporção da população.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de eleitores que votarão no candidato democrata com certa confiança e precisão.
  • Informações fornecidas:
    • Nível de confiança: 90\%.
    • Margem de erro desejada (erro máximo tolerável na estimativa da proporção): E = 0,04.
    • Não foi dada nenhuma estimativa prévia da proporção da população p.

Passo 2

Explicar a ideia básica e a fórmula que usamos para tamanho de amostra em estimativa de proporção (aula rápida e amigável).
  • Quando estimamos uma proporção p por uma proporção amostral \hat p, o erro padrão de \hat p é
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • p é a proporção verdadeira da população (desconhecida),
  • n é o tamanho da amostra.
  • Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 90\%), o intervalo de confiança aproximado para p é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\text{SE}(\hat p),
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita de z_{\alpha/2} é \alpha/2.
  • A margem de erro E é justamente o produto
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.
  • Nosso objetivo é isolar n nessa expressão para achar quantos respondentes precisamos.

Passo 3

Isolar n na fórmula da margem de erro (passo algébrico detalhado).
Partindo de
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
E^{2} = z_{\alpha/2}^{2}\dfrac{p(1-p)}{n}.
Agora isolo n:
n = \dfrac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Explicação das variáveis (resumo):
  • z_{\alpha/2}: valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado;
  • p: proporção verdadeira (se desconhecida, usa-se um valor conservador, explicado a seguir);
  • E: margem de erro desejada;
  • n: tamanho da amostra que queremos calcular.

Passo 4

Decidir o valor de p a usar. Como o enunciado não deu estimativa prévia, usamos o valor conservador.
  • A função p(1-p) atinge seu máximo em p=0,5, pois p(1-p)=p-p^{2} é uma parábola com vértice em p=0,5.
  • Usando p=0,5 temos o caso mais exigente (maior variabilidade), logo o n calculado será suficiente mesmo se a proporção real for diferente; por isso é chamado de escolha conservadora.
  • Assim tomamos p=0,5 e então p(1-p)=0,5\cdot0,5=0,25.

Passo 5

Determinar z_{\alpha/2} para 90\% de confiança e substituir todos os valores para calcular n.
  • Para nível de confiança 90\% temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05.
  • O valor crítico é z_{0,05}, isto é, o quantil da normal padrão com área 0,95 à esquerda. O valor tabelado é aproximadamente
z_{0,05}\approx 1,645.
  • Agora substituímos na fórmula com p(1-p)=0,25 e E=0,04:
n = \dfrac{(1,645)^{2}\cdot 0,25}{(0,04)^{2}}.
Calcule passo a passo:
1,645 \div 0,04 = 41,125,
(41,125)^{2} = 1691,265625,
n = 1691,265625 \times 0,25 = 422,81640625.

Passo 6

Arredondamento e interpretação do resultado (como proceder na prova).
  • O tamanho de amostra n deve ser um número inteiro. Para garantir que a margem de erro não exceda E, deve-se sempre arredondar para cima.
  • Assim, n \approx 422,816\ldots deve ser arredondado para
n = 423.
  • Interpretação final: com 423 entrevistados a pesquisa atinge aproximadamente 90\% de confiança de que o erro na estimativa da proporção é, no máximo, 0,04, assumindo população grande (ou sem correção para população finita).

Resposta

423