Um pesquisador de biologia, ao analisar o crescimento de uma cultura de bactéria, verificou que a mesma cresce segundo o modelo P(t)=3.000 \times 2^{4,24 t}, sendo o tempo t em horas, o tempo necessário para atingir uma população P de 4.500 .000 bactérias é de: (dado: log2 =0,30 e \log 3=0,48 )
a) 1,75 \mathrm{~h}
b) 2,15 \mathrm{~h}
c) 2,5 \mathrm{~h}
d) 3,25 \mathrm{~h}

Passo 1

O enunciado fornece o modelo de crescimento e pede o tempo necessário para atingir uma certa população. Dados e pedido (pegos do enunciado):
  • Função população: P(t)=3000\times 2^{4,24\,t}, com t em horas.
  • População alvo: P=4\,500\,000 (quatro milhões e quinhentas mil).
  • Valores dados: \log 2=0,30 e \log 3=0,48.
    O que se pede: encontrar o tempo t (em horas) tal que P(t)=4\,500\,000. Depois escolher a alternativa correta entre (a)–(d).

Passo 2

Isolar a potência para poder usar logaritmos. Igualando:
3000\times 2^{4,24\,t}=4\,500\,000.
Dividindo ambos os lados por 3000:
2^{4,24\,t}=\frac{4\,500\,000}{3000}=1500.

Passo 3

Por que usar logaritmo? Porque temos a incógnita t no expoente. A propriedade útil é \log(a^b)=b\log a. Aplicando logaritmo (base 10) nos dois lados:
4,24\,t\cdot \log 2=\log 1500.
Agora calcular \log 1500 usando as propriedades de log e os valores dados:
\log 1500=\log(15\cdot 10^2)=\log 15 + 2.
E \log 15=\log(3\cdot 5)=\log 3 + \log 5. Como \log 5=\log\!\left(\frac{10}{2}\right)=1-\log 2, obtemos:
\log 5 = 1 - \log 2 = 1 - 0,30 = 0,70.
Portanto
\log 15 = \log 3 + \log 5 = 0,48 + 0,70 = 1,18,
e finalmente
\log 1500 = 1,18 + 2 = 3,18.

Passo 4

Voltar à equação com logaritmo e resolver para t:
4,24\,t\cdot \log 2 = 3,18.
Substituindo \log 2=0,30:
4,24\,t \times 0,30 = 3,18.
Calcular o produto no lado esquerdo: 4,24\times 0,30 = 1,272. Assim
1,272\,t = 3,18.
Isolando t:
t=\frac{3,18}{1,272}.
Fazendo a divisão (ou percebendo que 1,272\times 2,5=3,18):
t=2,5\\ \text{horas}.

Passo 5

Interpretação final: o tempo necessário para a população atingir 4\,500\,000 bactérias é 2,5 horas, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 2,5\\ \mathrm{h}