Uma pessoa encontra-se dentro de um elevador em movimento, com aceleração constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} para cima, em cima de uma balança digital. Sabendo que a massa dessa pessoa é de 66,33 \mathrm{~kg} e que a aceleração da gravidade local é de, aproximadamente, 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual valor (com uma casa decimal) será mostrado na balança? E qual valor apareceria se o movimento tivesse a mesma aceleração com sentido para baixo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas bem claras:
  • Massa da pessoa: m = 66,33\\ \mathrm{kg}.
  • Aceleração da gravidade local: g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Aceleração do elevador para cima: a = 2\\ \mathrm{m/s^{2}} (no primeiro caso).
  • Aceleração do elevador para baixo: a = 2\\ \mathrm{m/s^{2}} com sentido para baixo (no segundo caso).
  • A pergunta 1: qual valor será mostrado na balança quando o elevador acelera para cima com 2\\ \mathrm{m/s^{2}}?
  • A pergunta 2: qual valor será mostrado na balança quando o elevador acelera para baixo com 2\\ \mathrm{m/s^{2}}?
Observação explícita sobre a balança (importante para a resolução): a balança digital mede a força normal N que atua sobre a pessoa e geralmente mostra esse valor convertido em “quilogramas” assumindo a gravidade g. Portanto vou calcular a força normal N e depois transformar em leitura da balança (massa aparente) dividindo por g.

Passo 2

Vamos modelar as forças e usar a segunda lei de Newton. Expliquei passo a passo:
  • Forças sobre a pessoa (escolhendo direção para cima como positiva):
    • Força normal da balança para cima: N.
    • Peso (força da gravidade) para baixo: P = mg.
  • A segunda lei de Newton diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
    \sum F = ma.
    No nosso caso,
    N - mg = ma.
    Isolando N,
    N = m(g + a),
    quando a é positiva para cima. Aqui:
    • N é a força normal (em newtons) que a balança “sente”.
    • m é a massa da pessoa (em quilogramas).
    • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}).
    • a é a aceleração do elevador (em \mathrm{m/s^{2}}), positiva para cima.
  • Como a balança mostra “massa” (quilogramas) baseada na força medida, a leitura da balança (massa aparente) é
    m_{\text{ap}}=\frac{N}{g}=\frac{m(g+a)}{g}=m\left(1+\frac{a}{g}\right).
    Para aceleração para baixo com magnitude a usamos a negativo na equação ou, mais simples,
    N = m(g - a)
    e
    m_{\text{ap}}=m\left(1-\frac{a}{g}\right),
    quando o elevador acelera para baixo com aceleração de magnitude a.

Passo 3

Agora calculamos o caso 1: elevador acelerando para cima com a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Primeiro a força normal: N = m(g+a) = 66{,}33\cdot(9{,}8 + 2).Calcule 9{,}8+2=11{,}8. Então N = 66{,}33 \times 11{,}8.Faço a multiplicação por partes: 66{,}33\times 10 = 663{,}3,
66{,}33\times 1{,}8 = 66{,}33\times(1 + 0{,}8)=66{,}33 + 53{,}064 = 119{,}394.
Somando:
N = 663{,}3 + 119{,}394 = 782{,}694\\ \mathrm{N}.
  • Agora transformamos essa força na leitura da balança (massa aparente): m_{\text{ap}}=\frac{N}{g}=\frac{782{,}694}{9{,}8}.Dividindo, m_{\text{ap}}\approx 79{,}857142857\\ \mathrm{kg}.Arredondando para uma casa decimal (como pedido): m_{\text{ap}}=79{,}9\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora calculamos o caso 2: elevador acelerando para baixo com a=2\\ \mathrm{m/s^{2}} (mesma magnitude, sentido oposto).
  • Força normal: N = m(g - a) = 66{,}33\cdot(9{,}8 - 2).Calcule 9{,}8-2=7{,}8. Então N = 66{,}33 \times 7{,}8.Multiplicando: 66{,}33\times 7 = 464{,}31,
66{,}33\times 0{,}8 = 53{,}064,
somando,
N = 464{,}31 + 53{,}064 = 517{,}374\\ \mathrm{N}.
  • Leitura da balança: m_{\text{ap}}=\frac{N}{g}=\frac{517{,}374}{9{,}8}\approx 52{,}787346938\\ \mathrm{kg}.Arredondando para uma casa decimal: m_{\text{ap}}=52{,}8\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Intuição rápida para gravar isso: quando o elevador sobe, a balança “empurra” mais a pessoa (normal maior) e a leitura aumenta; quando desce acelerando, a balança “empurra” menos e a leitura diminui. Se a aceleração para baixo fosse igual a g a leitura chegaria a zero (sensação de queda livre). Você está indo bem — é exatamente esse raciocínio de forças + segunda lei que cai nas provas.

Resposta

79{,}9\\ \mathrm{kg}
52{,}8\\ \mathrm{kg}

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