1. Uma pessoa inventou um termômetro e este foi graduado segundo uma escala arbitrária H. Nesta escala, definiu as temperaturas 5{ }^{\circ} \mathrm{H} e 75{ }^{\circ} \mathrm{H} correspondendo a 0^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. (a) Calcule quanto vale uma variação de temperatura \Delta H em comparação a uma variação
    \Delta C. (b) Encontre a temperatura na escala H que corresponde a 40^{\circ} \mathrm{C}.
    R: (a) \Delta H=0,7 \Delta C (b) 33^{\circ} \mathrm{H}

Passo 1

O enunciado dá dois pontos que relacionam a escala arbitrária H com a escala Celsius C:
5^{\circ}\mathrm{H} \longleftrightarrow 0^{\circ}\mathrm{C}
75^{\circ}\mathrm{H} \longleftrightarrow 100^{\circ}\mathrm{C}
As perguntas são:
(a) Qual a relação entre uma variação de temperatura \Delta H e uma variação \Delta C?
(b) Que temperatura na escala H corresponde a 40^{\circ}\mathrm{C}?

Passo 2

Vamos assumir que a relação entre as escalas é linear — isto é, que existe uma reta que transforma C em H. Escrevemos essa relação geral como
H = \alpha C + \beta,
onde \alpha é o coeficiente de inclinação (quanto H muda quando C muda) e \beta é o deslocamento (valor de H quando C=0). Aqui:
  • H é a leitura na escala H (em {}^{\circ}\mathrm{H});
  • C é a temperatura em {}^{\circ}\mathrm{C};
  • \alpha e \beta são constantes a determinar a partir dos dois pontos fornecidos.
Explicação didática rápida: linearidade significa que intervalos iguais em C correspondem a intervalos iguais em H. Por exemplo, se \alpha=2, então um aumento de 1^{\circ}\mathrm{C} implica aumento de 2^{\circ}\mathrm{H}. É essa ideia que usamos para obter \Delta H em função de \Delta C.

Passo 3

Usamos os dados do enunciado para montar equações para \alpha e \beta.
Do ponto (C=0,\;H=5) obtemos
5 = \alpha\cdot 0 + \beta \quad\Rightarrow\quad \beta = 5.
Do ponto (C=100,\;H=75) obtemos
75 = \alpha\cdot 100 + \beta.
Substituindo \beta=5 nessa segunda equação:
75 = 100\alpha + 5.
Isolando \alpha:
100\alpha = 75 - 5 = 70 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{70}{100} = 0,7.
Interpretação: \alpha=0,7 significa que um aumento de 1^{\circ}\mathrm{C} corresponde a um aumento de 0,7^{\circ}\mathrm{H}. Em notação de variações isso dá exatamente a relação pedida para (a).

Passo 4

Escrevemos a fórmula de conversão já com os valores encontrados:
H = 0,7\,C + 5.
Da definição de coeficiente angular \alpha, a relação entre variações é simplesmente
\Delta H = \alpha\,\Delta C = 0,7\,\Delta C,
pois \beta desaparece quando consideramos diferenças (variações).
Para (b) substituímos C=40 na fórmula:
H = 0,7\cdot 40 + 5.
Calcule passo a passo: 0,7\cdot 40 = 28, então
H = 28 + 5 = 33.
Portanto 40^{\circ}\mathrm{C} corresponde a 33^{\circ}\mathrm{H}.

Resposta

(a) \Delta H = 0,7\,\Delta C
(b) 33^{\circ}\mathrm{H}

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