Um piloto de fórmula 1 tem 50 \% de chance de vencer uma corrida sob chuva, mas se não chover, suas chances caem para 25 \%. Os serviços de meteorologia estimam em 30 \% a probabilidade de que chova durante a corrida. O piloto tendo vencido a corrida, qual a probabilidade de ter chovido?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Probabilidade de chover durante a corrida: P(\text{chuva})=30\%.
Probabilidade do piloto vencer se chover: P(\text{vitória}\mid\text{chuva})=50\%.
Probabilidade do piloto vencer se não chover: P(\text{vitória}\mid\text{sem chuva})=25\%.
O que é pedido: qual é a probabilidade de ter chovido dado que o piloto venceu a corrida, isto é, P(\text{chuva}\mid\text{vitória})?
Passo 2
Vou traduzir as porcentagens para probabilidades numéricas e definir eventos com notação curta para ficar mais fácil de manipular.
Defino C como o evento “chover” e \overline{C} como “não chover”.
Defino V como o evento “o piloto venceu”.
As probabilidades numéricas são:
P\text{(C)}=0,3,\qquad P(\overline{C})=1-0,3=0,7,
P(V\mid C)=0,5,\qquad P(V\mid\overline{C})=0,25.
Explicação curta: escrever P(V\mid C) significa “a probabilidade de V ocorrer sabendo que C ocorreu”.
Passo 3
Antes de aplicar Bayes, precisamos do denominador da fórmula: P(V), a probabilidade de o piloto vencer independentemente de chuva. Usamos a regra da probabilidade total (porque a vitória pode ocorrer em dois cenários mutuamente excludentes: chuva ou não chuva):
Explicação didática: a regra da probabilidade total soma as contribuições de cada cenário (chuva / sem chuva) ponderadas pela probabilidade desses cenários.
Passo 4
Agora substituo os números na expressão de P(V) e calculo passo a passo:
P(V)=0,5\cdot0,3+0,25\cdot0,7.
Calculemos os termos separadamente:
0,5\cdot0,3=0,15,
0,25\cdot0,7=0,175.
Somando:
P(V)=0,15+0,175=0,325.
Passo 5
Agora aplico o Teorema de Bayes para obter P(C\mid V). A fórmula de Bayes é:
P(C\mid V)=\frac{P(V\mid C)P\text{(C)}}{P(V)}.
Explicação didática: Bayes nos diz como atualizar a probabilidade de um evento (chuva) ao sabermos que outro evento (vitória) ocorreu — numerador é a probabilidade conjunta (vitória e chuva), e denominador normaliza pela probabilidade total de vitória.
Converto para decimal e percentual para interpretar melhor o resultado:
\frac{6}{13}\approx0,461538\approx46,15\%.
Interpretação rápida e motivadora: dado que o piloto venceu, a chance de ter chovido sobe para cerca de 46{,}15\%. Não é óbvio à primeira vista, por isso usar Bayes aqui é a chave — a vitória é evidência que favorece o cenário chuva (já que o piloto vai melhor na chuva).