Numa pirâmide quadrangular regular, a altura é o triplo da aresta da base, e seu volume é 64 \mathrm{~m}^{3}. Calcule a área lateral.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide quadrangular regular com aresta de base a, altura h igual ao triplo de a ( h=3a) e volume V=64 m^{3}. Para resolver, vamos usar a fórmula do volume de pirâmide
V = \tfrac13\,A_b\,h
sendo A_b = a^2, e depois calcular a área lateral somando as áreas dos quatro triângulos isósceles que formam as faces laterais.

Passo 2

Aplicando V = \tfrac13\,a^2\,h e substituindo h=3a, obtemos
V = \tfrac13\,a^2\,(3a) = a^3.
Como a^3 = 64, segue a = 4 m e, portanto, h = 3\cdot4 = 12 m.

Passo 3

A geratriz l (altura de cada face triangular) vem do triângulo retângulo cujos catetos são h e a/2. Assim,
l = \sqrt{h^2 + \bigl(\tfrac a2\bigr)^2} = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}.

Passo 4

Cada face lateral é um triângulo de base a=4 m e altura l=2\sqrt{37} m, com área
\frac{4\cdot2\sqrt{37}}{2} = 4\sqrt{37}\,\text{m}^2.
Somando as quatro faces, a área lateral total é
4 \times 4\sqrt{37} = 16\sqrt{37}\,\text{m}^2.

Resposta

16\sqrt{37}\text{ m}^2

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