Uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado de diagonal 6√6 cm e cuja altura é igual a 2/3 do lado da base, tem área total igual a: Marque a alternativa que contém a resposta correta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria sobre uma pirâmide regular com base quadrada. A gente precisa descobrir a área total da pirâmide. A gente vai usar conceitos de medidas de pirâmide, área de quadrados e triângulos, e um pouco de trigonometria. Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem: a diagonal da base e a altura da pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o lado da base do quadrado. Sabemos que a diagonal (d) de um quadrado está relacionada com o lado (l) pela fórmula:
d = l raiz2
Aqui, a diagonal é 6raiz6 cm. Vamos resolver para l:
6raiz6 = l raiz2
l = 6raiz6raiz2
l = 6raiz3 cm

Passo 3

Agora que temos o lado da base, vamos calcular a altura da pirâmide. A altura (h) é dada como $ \frac{2}{3} $ do lado da base:
23
h = 23 times 6raiz3

Passo 4

Vamos calcular a área da base, que é um quadrado:
Área da base = l^2 Á
Área da base = (6raiz3)^2 Á
Área da base = 36 times 3 Á
Área da base = 108 cm² Á²

Passo 5

Para encontrar a área total, precisamos somar a área da base com a área das 4 faces triangulares. Primeiro, vamos encontrar a altura das faces laterais, que é a altura do triângulo. Podemos usar o teorema de Pitágoras para isso. A altura das faces laterais (s) é:
s = raiz(l2)^2 + h^2
s = raiz(6raiz32)^2 + (4raiz3)^2
s = raiz(3raiz3)^2 + (4raiz3)^2
s = raiz27 + 48
s = raiz75
s = 5raiz3 cm

Passo 6

Agora, vamos calcular a área de uma face triangular:
Área do triângulo = 12 times l times s Áâ
Área do triângulo = 12 times 6raiz3 times 5raiz3 Áâ
Área do triângulo = 12 times 6 times 5 times 3 Áâ
Área do triângulo = 12 times 90 Áâ
Área do triângulo = 45 cm² Áâ²

Passo 7

Como são 4 faces triangulares, a área total das faces é:
4 times 45 = 180 cm² ²

Passo 8

Finalmente, a área total da pirâmide é a soma da área da base com a área das faces:
Área total = 108 + 180 Á
Área total = 288 cm² Á²

Resposta

A área total da pirâmide é de 288 cm².

Exercícios relacionados