Uma placa metálica apresenta um orifício central de área A na temperatura 0. explique o que acontece com a área desse orifício quando a temperatura varia para 0 > 0.
Passo 1
Então, a gente tem uma placa de metal com um buraco no meio que tem uma área $ A $ quando a temperatura está em $ T_0 $. A questão quer saber o que acontece com essa área $ A $ quando a temperatura aumenta além de $ T_0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de expansão térmica, que é quando materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é expansão térmica. Quando a temperatura de um material aumenta, as partículas que compõem ele começam a se mover mais rápido e acabam ocupando mais espaço. Isso faz com que o material se expanda. A expansão pode ser linear (ao longo de um comprimento) ou volumétrica (em todas as direções).
Para a maioria dos metais, a expansão é principalmente linear, e a fórmula para a expansão linear é:
Onde:
- $ \Delta L $ é a variação no comprimento,
- $ \alpha $ é o coeficiente de expansão linear do material,
- $ L_0 $ é o comprimento inicial,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 3
No caso da nossa placa com um buraco, a coisa fica interessante. Mesmo que a placa como um todo esteja se expandindo, o buraco no meio também vai expandir. É como se o material ao redor do buraco se afastasse, aumentando a área do buraco.
Para calcular como a área do buraco muda, precisamos considerar que a expansão é em duas dimensões. Então, a variação na área será proporcional a $ (1 + \alpha \Delta T)^2 $. A nova área $ A’ $ do buraco será:
Aqui simplificamos assumindo que $ \alpha \Delta T $ é pequeno, então $ (1 + \alpha \Delta T)^2 \approx 1 + 2\alpha \Delta T $.
Passo 4
Agora, aplicando essa fórmula, a gente vê que quando a temperatura aumenta ($ \Delta T > 0 $), o termo $ 1 + 2\alpha \Delta T $ também aumenta. Isso significa que a nova área $ A’ $ do buraco será maior que a área inicial $ A $.
Resposta
Quando a temperatura da placa metálica aumenta, a área do orifício central também aumenta. A nova área $ A’ $ é dada por:
Portanto, ao aquecer a placa, o buraco no meio expande, tornando sua área maior.