Uma placa metálica quadrada possui um orifício circular no centro. A placa é aquecida uniformemente.
Marque a alternativa correta sobre o que acontece com o orifício:
a) O orifício diminui de tamanho.
b) O orifício aumenta de tamanho.
c) O orifício permanece do mesmo tamanho.
d) O orifício muda de formato, mas mantém a área.
a) O orifício diminui de tamanho.
b) O orifício aumenta de tamanho.
c) O orifício permanece do mesmo tamanho.
d) O orifício muda de formato, mas mantém a área.
Passo 1
O enunciado dá uma placa metálica quadrada com um orifício circular central e diz que a placa é aquecida uniformemente. Pergunta-se qual das alternativas descreve o que acontece com o orifício:
a) O orifício diminui de tamanho.
b) O orifício aumenta de tamanho.
c) O orifício permanece do mesmo tamanho.
d) O orifício muda de formato, mas mantém a área.
a) O orifício diminui de tamanho.
b) O orifício aumenta de tamanho.
c) O orifício permanece do mesmo tamanho.
d) O orifício muda de formato, mas mantém a área.
Informações relevantes fornecidas (tiradas do enunciado):
- Há uma placa metálica com um orifício circular no centro.
- A placa é aquecida uniformemente (mesma elevação de temperatura em toda a placa).
- Não foram dadas restrições adicionais (por exemplo, a placa está livre para se expandir ou está presa).
Passo 2
Vou explicar a ideia básica que usamos: expansão térmica linear.
Definição e fórmula: para um material homogêneo e isotrópico, quando a temperatura aumenta em e o corpo pode expandir livremente, cada comprimento linear
aumenta aproximadamente em
Definição e fórmula: para um material homogêneo e isotrópico, quando a temperatura aumenta em
onde
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade típica:
).
Isso significa que o novo comprimento fica
Isso significa que o novo comprimento fica
Explicação intuitiva:
diz “quanto cresce cada unidade de comprimento por grau”. Se
for pequeno e
também, essa relação é uma boa aproximação linear.
Passo 3
Agora adapto essa ideia para a placa inteira. Como o aquecimento é uniforme e o material é homogêneo/isotrópico (pressuposto implícito para aplicar a regra simples), cada distância linear na placa se escala pelo mesmo fator
.
Formalmente: tome um ponto da placa cuja posição vetorial relativa ao centro do orifício seja . A deformação térmica isotrópica produz um deslocamento
Formalmente: tome um ponto da placa cuja posição vetorial relativa ao centro do orifício seja
portanto a nova posição é
Isso mostra que todas as posições, medidas a partir do centro, são multiplicadas pelo mesmo fator escalar.
Passo 4
Aplicando isso ao orifício circular: se o orifício tem raio
antes do aquecimento, após o aquecimento livre o raio passa a ser
Comparando,
sempre que
. Logo o raio do orifício aumenta. Para a área do orifício vale
Para
pequeno podemos aproximar usando o binômio:
portanto
ou seja, a área também aumenta (aproximadamente com o dobro da fração relativa do aumento linear).
Passo 5
Exemplo numérico bem simples para fixar (sem calculadora complicada): suponha
,
(valor típico em ordem de magnitude para alguns metais) e
. Então
Ou seja, o raio cresce
— pequeno, mas positivo e real. A área cresce aproximadamente em
.
Passo 6
Intuição física fácil de guardar (o truque para a prova): quando tudo se expande uniformemente, o orifício “se comporta” como se fosse preenchido por material que também se expandiria — portanto o buraco aumenta. Outra forma de dizer: a expansão térmica é uma expansão geométrica uniforme (escala) no plano, então formas mantêm o formato (similaridade) e escala linearmente.
Passo 7
Observações importantes sobre hipóteses e exceções (para não te pegar desprevenido na prova):
- As conclusões acima valem quando a placa pode expandir livremente, o aquecimento é realmente uniforme, e o material é isotrópico e homogêneo.
- Se a placa estiver presa (contida por bordas rígidas) ou o aquecimento for não uniforme, surgem tensões e deformações que podem alterar o comportamento do orifício (p.ex. distorção, mudança de forma ou até fechamento parcial em casos extremos).
- Em materiais anisotrópicos (direções com diferentes
) o orifício pode mudar de formato (tornar-se elíptico), mas no caso isotrópico e livre a forma permanece circular e só a escala muda.
Resposta
b) O orifício aumenta de tamanho.