Uma placa metálica tem um orifício circular de 50,0 \mathrm{~mm} de diâmetro a 15,0^{\circ} \mathrm{C}. A que temperatura deve ser aquecida à placa para que se possa ajustar no orifício um pino cilíndrico de 50,3 \mathrm{~mm} de diâmetro? O coeficiente de dilatação linear do metal é 0,0000119{ }^{\circ} \mathrm{C}-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um orifício circular numa placa de diâmetro inicial d_0 = 50{,}0 mm à temperatura inicial T_0 = 15{,}0\;^\circ\mathrm{C}. Queremos aquecer a placa até que o diâmetro do orifício atinja pelo menos d = 50{,}3 mm, de modo a encaixar um pino cilíndrico desse diâmetro. O conteúdo aqui é dilatação térmica linear, pois o diâmetro do orifício varia igual aos comprimentos lineares do material.

Passo 2

Teoria da dilatação linear: um comprimento qualquer L_0 a T_0 passa a
L = L_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr]
quando aquecido à temperatura T, onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear.

Passo 3

Aplicando ao diâmetro do orifício, temos
d = d_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr].

Passo 4

Queremos d = 50{,}3 mm. Então
50{,}3 = 50{,}0\bigl[1 + \alpha\,(T - 15{,}0)\bigr].
Isolando (T - 15{,}0):
1 + \alpha\,(T - 15{,}0) = \frac{50{,}3}{50{,}0} \quad\Longrightarrow\quad \alpha\,(T - 15{,}0) = \frac{50{,}3}{50{,}0} - 1.

Passo 5

Calculemos os valores numéricos.
\frac{50{,}3}{50{,}0} - 1 = 0{,}006 \quad,\quad \alpha = 1{,}19\times10^{-5}\;^\circ\mathrm{C}^{-1}.
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T - 15{,}0 = \frac{0{,}006}{1{,}19\times10^{-5}} \approx 504{,}2\;^\circ\mathrm{C}
e portanto
T \approx 15{,}0 + 504{,}2 = 519{,}2\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A placa deve ser aquecida a aproximadamente 519{,}2\;^\circ\mathrm{C}.

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