Uma placa vertical quadrada, com 0,3 \mathrm{~m} de lado e espessura de 15 mm , feita de uma liga de alumínio está a uma temperatura uniforme de 227^{\circ} \mathrm{C}, quando é exposta ao ar ambiente que está a uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}.
As propriedades da liga de alumínio são: \rho=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; k=186 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot K ; c_{p}= 983 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}. As propriedades do ar na temperatura de filme são: \gamma=26,41 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; k= 0,0338 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ; c_{p}=1013 \mathrm{~J} / \mathrm{KgK} ; \operatorname{Pr}=0,69 ; \mu=2,28 \cdot 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot s
Desconsiderando o efeito da radiação, e as perdas de calor pela espessura da placa, faça o que se pede.
a) Por meio de um balanço de energia, obtenha uma expressão literal para o cálculo da taxa de variação de temperatura em função do coeficiente convectivo de transferência de calor h; da área da transferência de calor L^{2}; da diferença de temperatura entre a superfície e o fluido ( T_{S}-T_{\infty} ), da densidade da liga de alumínio \rho; do volume da placa V e do calor específico da liga de alumínio c_{p}.
b) Calcule a taxa (instantânea) de variação de temperatura da placa, considerando capacitância concentrada, no início do processo de resfriamento. \left(-0,061{ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s} ; 6,25 \mathrm{~W} /\right. m^{2 \circ} C )
c) Analise se a consideração de capacitância concentrada poderia ter sido feita para a situação em questão. ( \mathrm{Bi}=0,00025-sim)
d) Agora suponha que paralelamente a placa haja escoamento forçado de ar a 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com a placa sendo mantida iguais as condições de b), qual seria a taxa de variação de temperatura no início do resfriamento e qual o coeficiente convectivo de transferência de calor? ( -0,26 { }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s} ; 24,38 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} )
e) Qual a temperatura da placa após 20 minutos do início da transferência de calor para as duas situações (convecção forçada e convecção natural) ( 165,5^{\circ} \mathrm{C} ; 74,34^{\circ} \mathrm{C} )?

Passo 1

O enunciado dá uma placa quadrada vertical com lado L=0{,}3\\ \mathrm{m} e espessura t=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}, feita de liga de alumínio com densidade \rho=2770\\ \mathrm{kg/m^{3}}, condutividade térmica k_s=186\\ \mathrm{W/m\cdot K} e calor específico c_p=983\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. A placa começa com temperatura uniforme T_i=227^\circ\mathrm{C} e é exposta a ar a T_\infty=27^\circ\mathrm{C}. Propriedades do ar no filme: \nu=26{,}41\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, k=0{,}0338\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, c_p=1013\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \Pr=0{,}69, \mu=2{,}28\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Desconsiderar radiação e perdas pelas arestas (perdas pela espessura da placa desprezadas).
As perguntas:
a) Obter expressão (balanço de energia) para \dfrac{dT}{dt} em função de h, L^{2}, (T_S-T_\infty), \rho, V, c_p.
b) Calcular a taxa instantânea inicial de variação de temperatura supondo capacitância concentrada (início do resfriamento; convecção natural).
c) Avaliar se a hipótese de capacitância concentrada (número de Bi pequeno) é válida.
d) Repetir (b) e encontrar h se houver escoamento forçado de ar paralelo a U=12\\ \mathrm{m/s}.
e) Determinar a temperatura da placa após 20 minutos para as duas situações (conv. natural e conv. forçada).

Passo 2

Modelo de capacitância concentrada (lumped): a temperatura do sólido é uniforme no instante considerado, então o balanço de energia para a placa é
\text{taxa de variação da energia interna} = -\text{taxa de perda por convecção}.çãçã
A energia interna é m c_p T com m=\rho V. A perda por convecção é Q=h A (T_S-T_\infty), com A a área externa exposta ao fluido. Assim,
\frac{d}{dt}\bigl(\rho V c_p T(t)\bigr) = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
Como \rho,V,c_p são constantes,
\rho V c_p \frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T-T_\infty\bigr).
Isolando \dfrac{dT}{dt} obtemos a expressão buscada:
\boxed{\frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{\rho V c_p}\,\bigl(T-T_\infty\bigr).}
Observação sobre A: a placa tem duas faces grandes de área L^2 cada; desprezando perdas pelas arestas, a área total de troca é A=2L^{2}. Se o enunciado usa L^{2} como a área de uma face, lembrar de multiplicar por 2.

Passo 3

Calcular grandezas geométricas e massa:
L=0{,}3\\ \mathrm{m},\qquad t=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Volume da placa
V = L^{2} t = (0{,}3)^{2}(0{,}015)=0{,}09\cdot0{,}015=0{,}00135\\ \mathrm{m^{3}}.
Área de troca (duas faces grandes)
A = 2 L^{2} = 2\cdot0{,}09 = 0{,}18\\ \mathrm{m^{2}}.
Massa
m = \rho V = 2770\cdot0{,}00135 = 3{,}7395\\ \mathrm{kg}.
Capacidade térmica total
m c_p = 3{,}7395\cdot983 \approx 3675{,}93\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Convecção natural (início): calcular h por correlação para placa vertical. Primeiro temperatura média do filme (em K):
T_S=227^\circ\mathrm{C}=500\\ \mathrm{K},\qquad T_\infty=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K},
T_{f}=\frac{T_S+T_\infty}{2}=\frac{500+300}{2}=400\\ \mathrm{K}.
Coeficiente volumétrico de dilatação aproximado para gás ideal \beta\approx 1/T_{f}=1/400=0{,}0025\\ \mathrm{K^{-1}}.
Número de Grashof característico para comprimento L:
\Gr = \frac{g\beta (T_S-T_\infty) L^{3}}{\nu^{2}}.
Substituindo g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},\\ \beta=0{,}0025,\\ \Delta T=200\\ \mathrm{K},\\ L=0{,}3\\ \mathrm{m},\\ \nu=26{,}41\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
\Gr \approx \frac{9{,}81\cdot0{,}0025\cdot200\cdot(0{,}3)^{3}}{(26{,}41\cdot10^{-6})^{2}} \approx 1{,}90\cdot10^{8}.
Número de Rayleigh \Ra=\Gr\Pr \approx 1{,}90\cdot10^{8}\cdot0{,}69\approx1{,}31\cdot10^{8}.
Usamos a correlação para placa vertical (válida para 10^{4}\lesssim\Ra\lesssim10^{9}):
\Nu_L = 0{,}68 + \frac{0{,}670\,\Ra^{1/4}}{\bigl(1+(0{,}492/\Pr)^{9/16}\bigr)^{4/9}}.
Calcule \Ra^{1/4}\approx106{,}9, o fator do denominador \approx1{,}306, então
\Nu_L \approx 0{,}68 + \frac{0{,}670\cdot106{,}9}{1{,}306}\approx55{,}52.
Com k_{\text{ar}}=0{,}0338\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e L=0{,}3\\ \mathrm{m},
h = \frac{\Nu_L\,k}{L} \approx \frac{55{,}52\cdot0{,}0338}{0{,}3}\approx6{,}258\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Arredondando, h\approx6{,}25\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 5

Calcular a taxa instantânea inicial usando a expressão do passo 2. No início T(0)=T_S=227^\circ\mathrm{C} e \Delta T_0=T_S-T_\infty=200\\ \mathrm{K}. Assim,
\frac{dT}{dt}\Big|_{t=0} = -\frac{h A}{\rho V c_p}\,(T_S-T_\infty).
Substituindo h=6{,}258, A=0{,}18, \rho V c_p = m c_p \approx3675{,}93:
\frac{dT}{dt}\Big|_{0} = -\frac{6{,}258\cdot0{,}18}{3675{,}93}\cdot200 = -0{,}0612\\ ^\circ\mathrm{C/s}.
Arredondando, \dfrac{dT}{dt}\big|_{0}\approx -0{,}061\\ ^\circ\mathrm{C/s}. (A constante de proporcionalidade \dfrac{hA}{m c_p}\approx3{,}06\cdot10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.)

Passo 6

Analisar o número de Biot para verificar validade da hipótese de capacitância concentrada. Comprimento característico para o sólido (próprio do critério lumped) é
L_c=\frac{V}{A}=\frac{0{,}00135}{0{,}18}=0{,}0075\\ \mathrm{m},
que de fato é t/2. O número de Biot é
\Bi = \frac{h L_c}{k_s} = \frac{6{,}258\cdot0{,}0075}{186}\approx2{,}52\cdot10^{-4}.
Como \Bi \ll 0{,}1, a hipótese de capacitância concentrada é válida. Conclusão: sim, podemos usar o modelo lumped.

Passo 7

Escoamento forçado U=12\\ \mathrm{m/s} paralelo à placa: calcular h por correlação de fluxo externo sobre placa plana. Primeiro Reynolds:
\Re_L = \frac{U L}{\nu} = \frac{12\cdot0{,}3}{26{,}41\cdot10^{-6}}\approx1{,}3627\cdot10^{5}.
Para este \Re_L o escoamento ao longo da placa é majoritariamente laminar; usamos a correlação de fluxo laminar para Nu médio sobre comprimento L:
\Nu_L = 0{,}664\,\Re_L^{1/2}\Pr^{1/3}.
Calculando \Re_L^{1/2}\approx369{,}1 e \Pr^{1/3}\approx0{,}884, obtemos
\Nu_L \approx 0{,}664\cdot369{,}1\cdot0{,}884\approx216{,}5.
Logo
h = \frac{\Nu_L k}{L} = \frac{216{,}5\cdot0{,}0338}{0{,}3}\approx24{,}41\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Agora a taxa inicial:
\frac{dT}{dt}\Big|_{0} = -\frac{h A}{m c_p}\,(T_S-T_\infty) = -\frac{24{,}41\cdot0{,}18}{3675{,}93}\cdot200 \approx -0{,}239\\ ^\circ\mathrm{C/s}.
(Arredondando h\approx24{,}4\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} e \dfrac{dT}{dt}\big|_{0}\approx-0{,}239\\ ^\circ\mathrm{C/s}.)

Passo 8

Temperatura após t=20 minutos =1200\\ \mathrm{s} usando solução lumped:
T(t)=T_\infty + (T_i-T_\infty)\exp\!\Bigl(-\frac{h A}{m c_p}\,t\Bigr).
Para convecção natural ( h\approx6{,}258):
\frac{h A}{m c_p} \approx \frac{6{,}258\cdot0{,}18}{3675{,}93}=3{,}066\cdot10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}},
T(1200) = 27 + 200\exp(-3{,}066\cdot10^{-4}\cdot1200) =27 + 200\exp(-0{,}3679)\approx27 +200\cdot0{,}692 \approx165{,}4^\circ\mathrm{C}.
Para convecção forçada ( h\approx24{,}41):
\frac{h A}{m c_p} \approx \frac{24{,}41\cdot0{,}18}{3675{,}93}=1{,}1947\cdot10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}},
T(1200)=27+200\exp(-1{,}1947\cdot10^{-3}\cdot1200)=27+200\exp(-1{,}4336) \approx27+200\cdot0{,}2389\approx74{,}8^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dT}{dt} = -\frac{h\,A}{\rho\,V\,c_{p}}\,(T-T_{\infty}), com A=2L^{2} (duas faces).
b) \displaystyle \frac{dT}{dt}\Big|_{0}\approx -0{,}061\\ ^\circ\mathrm{C/s} (com h\approx6{,}26\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}).
c) \displaystyle \Bi=\frac{hL_{c}}{k_{s}}\approx2{,}52\cdot10^{-4}\ll0{,}1 — portanto a aproximação de capacitância concentrada é válida.
d) Para U=12\\ \mathrm{m/s}:\\ h\approx24{,}41\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} e \displaystyle \frac{dT}{dt}\Big|_{0}\approx -0{,}239\\ ^\circ\mathrm{C/s}.
e) Após 20 minutos: convecção natural T\approx165{,}4^\circ\mathrm{C}; convecção forçada T\approx74{,}8^\circ\mathrm{C}.

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