Uma placa vertical quadrada, com 0,3 \mathrm{~m} de lado e espessura de 15 mm , feita de uma liga de alumínio está a uma temperatura uniforme de 227^{\circ} \mathrm{C}, quando é exposta ao ar ambiente que está a uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}.
As propriedades da liga de alumínio são: \rho=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; k=186 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot K ; c_{p}= 983 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}. As propriedades do ar na temperatura de filme são: \gamma=26,41 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; k= 0,0338 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ; c_{p}=1013 \mathrm{~J} / \mathrm{KgK} ; \operatorname{Pr}=0,69 ; \mu=2,28 \cdot 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot s
Desconsiderando o efeito da radiação, e as perdas de calor pela espessura da placa, faça o que se pede.
a) Por meio de um balanço de energia, obtenha uma expressão literal para o cálculo da taxa de variação de temperatura em função do coeficiente convectivo de transferência de calor h; da área da transferência de calor L^{2}; da diferença de temperatura entre a superfície e o fluido ( T_{S}-T_{\infty} ), da densidade da liga de alumínio \rho; do volume da placa V e do calor específico da liga de alumínio c_{p}.
b) Calcule a taxa (instantânea) de variação de temperatura da placa, considerando capacitância concentrada, no início do processo de resfriamento. \left(-0,061{ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s} ; 6,25 \mathrm{~W} /\right. m^{2 \circ} C )
c) Analise se a consideração de capacitância concentrada poderia ter sido feita para a situação em questão. ( \mathrm{Bi}=0,00025-sim)
d) Agora suponha que paralelamente a placa haja escoamento forçado de ar a 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com a placa sendo mantida iguais as condições de b), qual seria a taxa de variação de temperatura no início do resfriamento e qual o coeficiente convectivo de transferência de calor? ( -0,26 { }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s} ; 24,38 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} )
e) Qual a temperatura da placa após 20 minutos do início da transferência de calor para as duas situações (convecção forçada e convecção natural) ( 165,5^{\circ} \mathrm{C} ; 74,34^{\circ} \mathrm{C} )?
Passo 1
O enunciado dá uma placa quadrada vertical com lado L=0{,}3\\ \mathrm{m} e espessura t=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}, feita de liga de alumínio com densidade \rho=2770\\ \mathrm{kg/m^{3}}, condutividade térmica k_s=186\\ \mathrm{W/m\cdot K} e calor específico c_p=983\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. A placa começa com temperatura uniforme T_i=227^\circ\mathrm{C} e é exposta a ar a T_\infty=27^\circ\mathrm{C}. Propriedades do ar no filme: \nu=26{,}41\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, k=0{,}0338\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, c_p=1013\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \Pr=0{,}69, \mu=2{,}28\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Desconsiderar radiação e perdas pelas arestas (perdas pela espessura da placa desprezadas).
As perguntas:
a) Obter expressão (balanço de energia) para \dfrac{dT}{dt} em função de h, L^{2}, (T_S-T_\infty), \rho, V, c_p.
b) Calcular a taxa instantânea inicial de variação de temperatura supondo capacitância concentrada (início do resfriamento; convecção natural).
c) Avaliar se a hipótese de capacitância concentrada (número de Bi pequeno) é válida.
d) Repetir (b) e encontrar h se houver escoamento forçado de ar paralelo a U=12\\ \mathrm{m/s}.
e) Determinar a temperatura da placa após 20 minutos para as duas situações (conv. natural e conv. forçada).
Passo 2
Modelo de capacitância concentrada (lumped): a temperatura do sólido é uniforme no instante considerado, então o balanço de energia para a placa é
\text{taxa de variação da energia interna} = -\text{taxa de perda por convecção}.
A energia interna é m c_p T com m=\rho V. A perda por convecção é Q=h A (T_S-T_\infty), com A a área externa exposta ao fluido. Assim,
\frac{d}{dt}\bigl(\rho V c_p T(t)\bigr) = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
Como \rho,V,c_p são constantes,
\rho V c_p \frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T-T_\infty\bigr).
Isolando \dfrac{dT}{dt} obtemos a expressão buscada:
\boxed{\frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{\rho V c_p}\,\bigl(T-T_\infty\bigr).}
Observação sobre A: a placa tem duas faces grandes de área L^2 cada; desprezando perdas pelas arestas, a área total de troca é A=2L^{2}. Se o enunciado usa L^{2} como a área de uma face, lembrar de multiplicar por 2.
Coeficiente volumétrico de dilatação aproximado para gás ideal \beta\approx 1/T_{f}=1/400=0{,}0025\\ \mathrm{K^{-1}}.
Número de Grashof característico para comprimento L:
Número de Rayleigh \Ra=\Gr\Pr \approx 1{,}90\cdot10^{8}\cdot0{,}69\approx1{,}31\cdot10^{8}.
Usamos a correlação para placa vertical (válida para 10^{4}\lesssim\Ra\lesssim10^{9}):
Calcular a taxa instantânea inicial usando a expressão do passo 2. No início T(0)=T_S=227^\circ\mathrm{C} e \Delta T_0=T_S-T_\infty=200\\ \mathrm{K}. Assim,
\frac{dT}{dt}\Big|_{t=0} = -\frac{h A}{\rho V c_p}\,(T_S-T_\infty).
Substituindo h=6{,}258, A=0{,}18, \rho V c_p = m c_p \approx3675{,}93:
Arredondando, \dfrac{dT}{dt}\big|_{0}\approx -0{,}061\\ ^\circ\mathrm{C/s}. (A constante de proporcionalidade \dfrac{hA}{m c_p}\approx3{,}06\cdot10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.)
Passo 6
Analisar o número de Biot para verificar validade da hipótese de capacitância concentrada. Comprimento característico para o sólido (próprio do critério lumped) é