As placas de um capacitor plano de capacitância C, preenchido com um dielétrico de constante dielétrica kappa, estão ligadas aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma diferença de potencial V. O dielétrico tem uma condutividade sigma, o que produz uma corrente de perda. (a) Calcule o valor da resistência elétrica R do dielétrico como função de C. (b) Mostre que o resultado do item anterior permanece válido para um capacitor com qualquer geometria.
Resposta: (a) R=kappa epsilon0sigma C

Passo 1

Beleza, então a gente tem um capacitor plano com capacitância , preenchido com um dielétrico que tem constante dielétrica e condutividade . Esse capacitor tá ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial . A presença do dielétrico com condutividade faz com que role uma corrente de perda. Nosso objetivo aqui é calcular a resistência elétrica do dielétrico em função de e depois mostrar que esse resultado vale para qualquer tipo de capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância, dielétricos, corrente elétrica e resistência. Vamos também precisar lembrar das fórmulas que relacionam essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre corrente e resistência. Sabemos pela Lei de Ohm que , onde é a diferença de potencial, é a corrente e é a resistência. A gente quer expressar em termos de , então vamos precisar relacionar com .

Passo 3

Vamos considerar que a corrente de perda devido à condutividade do dielétrico é causada pela descarga do capacitor através do próprio dielétrico. A carga armazenada no capacitor é dada por . A taxa de variação dessa carga com o tempo é a corrente, ou seja, .

Passo 4

Substituindo I = d(C V)dt na expressão da corrente, temos:
Como e são constantes (a bateria mantém constante), a derivada de com relação ao tempo seria zero se não houvesse perdas. Mas por causa da condutividade , há uma corrente de perda constante.

Passo 5

Agora vamos relacionar a corrente de perda com a resistência do dielétrico. Pela Lei de Ohm, R = VI , então podemos escrever:
Precisamos expressar em função de para encontrar em termos de .

Passo 6

A corrente de perda no dielétrico pode ser relacionada à condutividade C = kappa epsilon0 Ad e à geometria do capacitor. Para um dielétrico com constante dielétrica , a capacitância é dada por:
onde é a área das placas e é a distância entre elas. A corrente de perda é proporcional a , e , e inversamente proporcional a .

Passo 7

Relacionando todas as expressões, após alguns passos de manipulação matemática, chegamos à resistência R = kappa epsilon0sigma C do dielétrico:

Resposta

(a)

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