Placas de circuito integrado são avaliadas após serem preenchidas com chips semicondutores. Considere que foi produzido um lote de 20 placas e selecionadas 5 para avaliação. Calcule a probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa, supondo que o lote tenha 4 defeituosas e que tenha sido realizada:
a) uma amostragem aleatória com reposição;
b) uma amostragem aleatória sem reposição.
a) uma amostragem aleatória com reposição;
b) uma amostragem aleatória sem reposição.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 20 placas de circuito integrado, das quais 4 são defeituosas. Queremos selecionar 5 placas para avaliação e calcular a probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa. Vamos resolver isso de duas maneiras:
a) Amostragem com reposição: Depois de selecionar uma placa, ela volta para o lote antes da próxima seleção.
b) Amostragem sem reposição: Uma vez que uma placa é selecionada, ela não volta para o lote.
a) Amostragem com reposição: Depois de selecionar uma placa, ela volta para o lote antes da próxima seleção.
b) Amostragem sem reposição: Uma vez que uma placa é selecionada, ela não volta para o lote.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a probabilidade de eventos complementares.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), que é a amostragem com reposição. Nessa situação, a probabilidade de selecionar uma placa não defeituosa em uma única tentativa é:
Como estamos fazendo 5 seleções com reposição, a probabilidade de todas as 5 placas serem não defeituosas é:
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de pelo menos uma placa ser defeituosa, usamos o complementar da probabilidade de todas serem não defeituosas:
Calculando isso:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 67,23%.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b), que é a amostragem sem reposição. Nesse caso, a probabilidade de cada seleção dependerá das placas restantes no lote.
Primeiro, a probabilidade de selecionar uma placa não defeituosa na primeira tentativa é:
Depois de uma placa não defeituosa ser selecionada, restam 15 placas não defeituosas e 4 defeituosas, totalizando 19 placas. A probabilidade na segunda seleção é:
Continuando desse jeito até a quinta seleção:
A probabilidade de todas as 5 placas serem não defeituosas é o produto dessas probabilidades:
Passo 5
Vamos calcular esse valor:
Agora, para encontrar a probabilidade de pelo menos uma placa ser defeituosa:
Ou seja, aproximadamente 56,1%.
Resposta
a) A probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa na amostragem com reposição é de aproximadamente 67,23%.
b) A probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa na amostragem sem reposição é de aproximadamente 56,1%.