No plano complexo, resolva cada equação diferencial ordinária (EDO) a seguir:
\frac{d^{2} w}{d z^{2}}-w=z^{2}+i, para z \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no plano complexo, a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} - w = z^{2} + i.
O conteúdo é solução geral de EDO linear: soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começamos pela homogênea
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} - w = 0.
A equação característica é
r^{2} - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo a solução geral da homogênea é
w_{h}(z) = C_{1}e^{z} + C_{2}e^{-z},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{C}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular w_{p}(z) da não homogênea, notamos que o termo certo é um polinômio de grau 2 mais constante. Fazemos o ansatz
w_{p}(z) = a z^{2} + b z + c,
com a,b,c\in\mathbb{C}. Calculamos
\frac{d^{2}w_{p}}{dz^{2}} = 2a,
então
\frac{d^{2}w_{p}}{dz^{2}} - w_{p}(z) = 2a - \bigl(a z^{2} + b z + c\bigr) = -a\,z^{2} - b\,z + (2a - c).
Esse deve ser igual a z^{2} + i. Igualando coeficientes:
-a = 1,\quad -b = 0,\quad 2a - c = i.
Daí
a = -1,\quad b = 0,\quad 2(-1) - c = i\\ \Longrightarrow\\ c = -2 - i.
Logo
w_{p}(z) = -\,z^{2} -2 - i.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
w(z) = w_{h}(z) + w_{p}(z) = C_{1}e^{z} + C_{2}e^{-z} \;-\; z^{2} \;-\; 2 \;-\; i,
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{C}.

Resposta

w(z) = C_{1}e^{z} + C_{2}e^{-z} \;-\; z^{2} \;-\; 2 \;-\; i.

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