No plano complexo, resolva cada equação diferencial ordinária (EDO) a seguir:
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no plano complexo, a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é solução geral de EDO linear: soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começamos pela homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
com
.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
da não homogênea, notamos que o termo certo é um polinômio de grau 2 mais constante. Fazemos o ansatz
com
. Calculamos
então
Esse deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Daí
Logo
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
com
.