Em um plano inclinado, rolam sem deslizar uma casca esférica, uma esfera maciça, uma casca cilíndrica e um cilindro maciço, todos com a mesma massa. (a) Se todos são soltos ao mesmo tempo do topo do plano inclinado, qual a ordem de chegada na base do mesmo? (b) Encontre um objeto que chegaria antes de todos os listados. © Encontre a aceleração do centro de massa do anel se o ângulo de inclinação do plano é 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre diferentes objetos rolando sem deslizar por um plano inclinado. Os objetos são uma casca esférica, uma esfera maciça, uma casca cilíndrica e um cilindro maciço, todos com a mesma massa. A matéria que vamos usar aqui é a dinâmica de corpos rígidos em planos inclinados, e precisamos entender como a distribuição de massa (momentos de inércia) influencia na aceleração e no tempo que cada objeto leva para descer o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que acontece quando esses objetos rolam sem deslizar. Eles não apenas estão em movimento de translação (descendo o plano), mas também de rotação. Isso significa que parte da energia está sendo usada para girar o objeto. A quantidade de energia usada para a rotação depende do momento de inércia do objeto, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
O momento de inércia (I) é crucial aqui. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto iniciar a rotação, o que resulta em uma aceleração menor ao descer pelo plano inclinado. As fórmulas dos momentos de inércia para os objetos mencionados são:
- Casca esférica: 
- Esfera maciça: 
- Casca cilíndrica: 
- Cilindro maciço: 
Aqui, 
Passo 4
A aceleração de cada objeto descendo o plano inclinado pode ser encontrada usando a equação:
Onde:
- 
é a aceleração da gravidade, 
- 
é o ângulo de inclinação do plano, 
- 
é o momento de inércia. 
Perceba que quanto maior 
Passo 5
Vamos calcular a aceleração para cada objeto:
- Casca esférica:
- Esfera maciça:
- Casca cilíndrica:
- Cilindro maciço:
Passo 6
Agora que temos as acelerações:
- Casca esférica: 
- Esfera maciça: 
- Casca cilíndrica: 
- Cilindro maciço: 
Vamos comparar esses valores para determinar a ordem de chegada.
Passo 7
Comparando as frações:
Maior aceleração significa que o objeto desce mais rápido. Então, em ordem decrescente de aceleração:
- Esfera maciça (
) 
- Cilindro maciço (
) 
- Casca esférica (
) 
- Casca cilíndrica (
) 
Logo, a esfera maciça chega primeiro, seguida pelo cilindro maciço, a casca esférica e, por último, a casca cilíndrica.
Passo 8
Para a parte (b), queremos um objeto que chegaria antes de todos os listados. Olhando para a fórmula da aceleração,
Para maximizar 
Passo 9
Por fim, vamos para a parte ©. Queremos encontrar a aceleração do centro de massa da casca cilíndrica (anel) com o ângulo de inclinação 
A fórmula geral já nos dá:
Para a casca cilíndrica, 
Resposta
(a) Ordem de chegada na base do plano inclinado: esfera maciça, cilindro maciço, casca esférica, casca cilíndrica.
(b) Um ponto material (massa concentrada no centro) chegaria antes de todos os listados.
© A aceleração do centro de massa da casca cilíndrica é 
