O plano tangente a uma superficie S: f(x)=0 em um ponto a \in S é dado por, T S_{a}: d f(a)(x-a)=0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a superfície definida por S:\\ f(x)=0.
  • Foi dado um ponto a\in S, ou seja f(a)=0.
  • O enunciado afirma que o plano tangente a S em a é T S_{a}:\\ d f(a)(x-a)=0.
  • O que vamos fazer: mostrar passo a passo por que essa fórmula está correta, explicando o que é d f(a), como se relaciona ao gradiente e por que o conjunto \{x : d f(a)(x-a)=0\} corresponde ao plano tangente.

Passo 2

O que é a diferencial d f(a) e a aproximação linear.
  • Suponha que f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} é diferenciável em a. Isso significa que existe uma aplicação linear d f(a):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tal que, para pequenos incrementos h\in\mathbb{R}^n, f(a+h)=f(a)+d f(a)\bigl(h\bigr)+o(\|h\|),onde o(\|h\|) é um termo que satisfaz \displaystyle \lim_{\|h\|\to0}\frac{o(\|h\|)}{\|h\|}=0.
  • Intuição: d f(a) é a melhor aproximação linear (o “tangente linear”) à variação de f perto de a. É análogo ao coeficiente angular da reta tangente no caso unidimensional, só que aqui é uma forma linear (um funcional).

Passo 3

Como usar a condição f(x)=0 para obter a equação linear aproximada.
  • Pontos x da superfície perto de a escrevem-se como x=a+h com h pequeno, e satisfazem f(a+h)=0.
  • Aplicando a aproximação linear: 0=f(a+h)=f(a)+d f(a)(h)+o(\|h\|).Como f(a)=0, fica d f(a)(h)+o(\|h\|)=0.
  • Para descrever o conjunto de pontos que tocam a superfície em primeira ordem (o plano tangente), desprezamos o termo de ordem superior o(\|h\|). A primeira aproximação dá d f(a)(h)=0.
  • Reescrevendo em função de x (onde h=x-a), obtemos a equação do plano tangente linear aproximado: d f(a)(x-a)=0.

Passo 4

Interpretação via vetores tangentes (curvas na superfície) — argumento alternativo e mais geométrico.
  • Considere qualquer curva suave \gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S\subset\mathbb{R}^n com \gamma(0)=a. Então f(\gamma(t))=0 para todo t.
  • Diferenciando em t=0 e usando a regra da cadeia: \frac{d}{dt}f(\gamma(t))\Big|_{t=0}=d f(a)\bigl(\gamma'(0)\bigr)=0.
  • Isso mostra que todo vetor velocidade \gamma'(0) de uma curva contida em S passa por a pertence ao núcleo de d f(a): T_a S \subseteq \ker\bigl(d f(a)\bigr).Ou seja, os vetores tangentes são ortogonais (no sentido da forma linear d f(a)) a d f(a).
  • Portanto o espaço tangente está contido no conjunto \{v\in\mathbb{R}^n:\\ d f(a)(v)=0\}.

Passo 5

Por que a inclusão do passo anterior é, na prática, uma igualdade (sob a hipótese regular).
  • Se d f(a) não for a forma zero (isto é, se \nabla f(a)\neq 0), então d f(a) é uma forma linear não-nula. Em \mathbb{R}^n, o núcleo de uma forma linear não-nula tem dimensão n-1.
  • A superfície de nível S=\{x:f(x)=0\}, sob a hipótese \nabla f(a)\neq0, é (localmente) uma subvariedade de dimensão n-1. O espaço tangente T_a S tem dimensão n-1 também.
  • Como já vimos que T_a S\subseteq\ker(d f(a)) e ambos têm a mesma dimensão n-1, segue que T_a S = \ker\bigl(d f(a)\bigr)=\{v\in\mathbb{R}^n:\\ d f(a)(v)=0\}.
  • Conclusão: o conjunto de pontos x tais que x-a pertence a \ker(d f(a)) (isto é, d f(a)(x-a)=0) é precisamente o plano tangente em a.

Passo 6

Ligando d f(a) ao gradiente \nabla f(a) e escrevendo a equação na forma clássica.
  • A diferencial d f(a) é uma forma linear que age em vetores v=(v_1,\dots,v_n) como produto escalar com o gradiente: d f(a)(v)=\nabla f(a)\cdot v,onde \nabla f(a)=\bigl(\partial_{x_1}f(a),\dots,\partial_{x_n}f(a)\bigr).
  • Assim a equação do plano tangente escrita anterioremente fica \nabla f(a)\cdot (x-a)=0.
  • Esta é a forma frequentemente usada em problemas: o vetor normal ao plano tangente é \nabla f(a), e o plano é o conjunto de pontos x tais que o deslocamento x-a é ortogonal a esse vetor.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a técnica (fácil de reproduzir na prova).
  • Seja f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} (esfera de raio R). Seja a=(x_{0},y_{0},z_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=R^{2}.
  • Calcula-se o gradiente: \nabla f(a)=(2x_{0},2y_{0},2z_{0}).
  • A equação do plano tangente é \nabla f(a)\cdot(x-a)=0,isto é 2x_{0}(x-x_{0})+2y_{0}(y-y_{0})+2z_{0}(z-z_{0})=0.Simplificando: x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=R^{2}.
  • Na prova: calcule o gradiente em a e escreva \nabla f(a)\cdot(x-a)=0. Pronto.

Passo 8

Resumo prático (receita para a prova) e observações finais.
  • Receita curta:
    1. Verifique que f é diferenciável em a e que \nabla f(a)\neq 0 (ponto regular).
    2. Calcule \nabla f(a).
    3. Escreva a equação do plano tangente como \nabla f(a)\cdot(x-a)=0.
  • Observação sobre rigor: o argumento "desprezar o(\|h\|)" dá a equação linear que define o plano tangente (primeira ordem). A igualdade completa entre o espaço tangente (derivado via curvas) e \ker(d f(a)) usa que \nabla f(a)\neq0 para garantir que a superfície é localmente um subespaço de dimensão n-1.
  • Força aí — na prova siga a receita, mostre o cálculo do gradiente e escreva a equação. Se tiver tempo, explique que é a linearização da condição f(x)=0.

Resposta

T S_{a}:\\ d f(a)(x-a)=0
\displaystyle T S_{a}:\\ \nabla f(a)\cdot (x-a)=0

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