Para a planta
, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida
;
b. Tempo de acomodação (na faixa de
)
;
c. Overshoot
;
d. Erro de estado estacionário
.
a. Tempo de subida
b. Tempo de acomodação (na faixa de
c. Overshoot
d. Erro de estado estacionário
Passo 1
O enunciado dá a planta
e pede que eu projete um controlador da família PID (ou seja,
) que satisfaça, para uma referência degrau (valor
):
- Tempo de subida
. - Tempo de acomodação (faixa de
) . - Overshoot
. - Erro em regime permanente
.
Informações relevantes dadas:
- Planta é um sistema de segunda ordem com função de transferência
. - Deseja-se um controlador PID (contendo integrador, portanto capaz de zerar erro em regime estacionário para degrau).
- Especificações de tempo de subida, acomodação e overshoot (valores numéricos explícitos).
A partir daqui vou projetar ganhosque atendam as especificações.
Passo 2
Estratégia escolhida e por quê (sem ancorações técnicas complexas):
- Vou usar o método de alocação de polos dominantemente de segunda ordem: escolher dois polos dominantes complexos que garantam o overshoot, o tempo de acomodação e o tempo de subida desejados, e colocar o terceiro polo (o sistema em malha fechada será de terceira ordem por causa do integrador) suficientemente à esquerda (mais rápido) para que a dinâmica seja dominada pelos dois polos complexos escolhidos.
- Razão: para sistemas de graduação em exatas e problemas de prova, essa técnica é direta, dá controle explícito das especificações de tempo/overshoot e leva a equações lineares simples para obter
. É mais prático que tentar projeto por lugar das raízes ou frequência quando temos requisitos temporais claros e a planta é baixa ordem.
Passo 3
Relacionamentos usados (aula rápida e intuitiva):
- Para uma segunda ordem subamortecida com polos em
temos as fórmulas padrão: (overshoot máximo relativo) (tempo de acomodação na banda de ) (tempo de subida aproximado; alternativa prática é usar aproximações relacionando a ) - Vou usar essas fórmulas para escolher
(damping ratio) e (frequência natural) que satisfaçam as três condições.
Passo 4
Escolha do amortecimento
a partir do overshoot:
- Queremos
. Invertendo a fórmula do overshoot: Tomando logaritmo e resolvendo (passo a passo): Assim Resolvendo numericamente dá aproximadamente . - Para margem, escolho
(um pouco maior que o mínimo para ficar seguro quanto ao overshoot).
Passo 5
Escolha de
a partir do tempo de acomodação e de subida:
- Pelo requisito
e usando temos - Pelo requisito
usamos a expressão com :
calcular. Para :
Assim,
implica
, que é menos restritivo que a condição do tempo de acomodação.
- Conclusão: a condição mais exigente é
. Escolho um pouco acima para margem:
Passo 6
Cálculo das raízes dominantes (polos desejados):
- Com
e , (cálculo: ; .) - Eles satisfazem:
satisfazendo todas as três especificações (overshoot < 15%, , ).
Passo 7
Escolha do terceiro polo e justificativa:
- O sistema fechado com PID terá ordem 3 (integrador do controlador + planta 2ª ordem).
- Para garantir que os dois polos complexos sejam dominantes, coloco o terceiro polo em uma posição significativamente mais à esquerda; escolho
(escolha prática: aproximadamente 3 vezes mais rápido que a parte real dos polos dominantes , garante que sua influência na resposta lenta seja pequena).
Passo 8
Construção do polinômio desejado do sistema em malha fechada:
- Os polos desejados são
e . O polinômio desejado é Desenvolvendo: (aqui eu calculei e multipliquei por para o termo constante.)
Passo 9
Expressão do polinômio em malha fechada em termos de
:
- Resultado da análise algébrica (passo a passo):
Partimos decom e malha unitária.
A condição característicaleva a, após multiplicar por , Esse é o polinômio em termos dos ganhos PID (mostrei os passos algébricos no cálculo: multiplicação por para eliminar e juntando termos).
Passo 10
Igualando coeficientes do polinômio desejado com o polinômio do sistema (resolvendo para
):
- Comparando coeficientes com
e obtemos o sistema linear:
- Resolvendo:
Passo 11
Verificações e comentários práticos:
- O integrador (
) garante para referência degrau (sistema tipo 1). - Pela construção, os polos dominantes são exatamente os escolhidos, então as especificações de overshoot, tempo de acomodação e tempo de subida são atendidas com as escolhas feitas (
). - Observação prática: na implementação real costuma-se adicionar um pequeno filtro ao termo derivativo (por exemplo
com grande) para evitar amplificação de ruído; aqui o projeto usou puro como ideal PID, que é o que normalmente se pede em provas. Se for implementar em hardware, use filtro e ajuste fino.