Para a planta G(s)=\frac{6}{s^{2}+8 s+12}, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida (0-100 \%)<0,5 \mathrm{~s};
b. Tempo de acomodação (na faixa de 2 \% ) <1,0 \mathrm{~s};
c. Overshoot <15 \%;
d. Erro de estado estacionário e_{s s}=0.

Passo 1

O enunciado dá a planta
G(s)=\frac{6}{s^{2}+8s+12}
e pede que eu projete um controlador da família PID (ou seja, C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_d s) que satisfaça, para uma referência degrau (valor 2{,}5):
  • Tempo de subida (0\!-\!100\%)<0{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de acomodação (faixa de 2\%) <1{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Overshoot <15\%.
  • Erro em regime permanente e_{ss}=0.
Informações relevantes dadas:
  • Planta é um sistema de segunda ordem com função de transferência \dfrac{6}{s^{2}+8s+12}.
  • Deseja-se um controlador PID (contendo integrador, portanto capaz de zerar erro em regime estacionário para degrau).
  • Especificações de tempo de subida, acomodação e overshoot (valores numéricos explícitos).
    A partir daqui vou projetar ganhos K_p,K_i,K_d que atendam as especificações.

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê (sem ancorações técnicas complexas):
  • Vou usar o método de alocação de polos dominantemente de segunda ordem: escolher dois polos dominantes complexos que garantam o overshoot, o tempo de acomodação e o tempo de subida desejados, e colocar o terceiro polo (o sistema em malha fechada será de terceira ordem por causa do integrador) suficientemente à esquerda (mais rápido) para que a dinâmica seja dominada pelos dois polos complexos escolhidos.
  • Razão: para sistemas de graduação em exatas e problemas de prova, essa técnica é direta, dá controle explícito das especificações de tempo/overshoot e leva a equações lineares simples para obter K_p,K_i,K_d. É mais prático que tentar projeto por lugar das raízes ou frequência quando temos requisitos temporais claros e a planta é baixa ordem.

Passo 3

Relacionamentos usados (aula rápida e intuitiva):
  • Para uma segunda ordem subamortecida com polos em \displaystyle s=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} temos as fórmulas padrão: M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}(overshoot máximo relativo) t_s\\ (\text{2\%})\approx \frac{4}{\zeta \omega_n}(tempo de acomodação na banda de 2\%) t_r\\ (0\!-\!100\%)\approx \frac{\pi-\varphi}{\omega_d},\quad \varphi=\arctan\!\Big(\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\Big),\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}(tempo de subida aproximado; alternativa prática é usar aproximações relacionando t_r a \omega_n)
  • Vou usar essas fórmulas para escolher \zeta (damping ratio) e \omega_n (frequência natural) que satisfaçam as três condições.

Passo 4

Escolha do amortecimento \zeta a partir do overshoot:
  • Queremos M_p<0{,}15. Invertendo a fórmula do overshoot: M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}<0{,}15.Tomando logaritmo e resolvendo (passo a passo): -\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}<\ln(0{,}15)\approx -1{,}897.Assim \frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}>1{,}897.Resolvendo numericamente dá aproximadamente \zeta\gtrsim 0{,}517.
  • Para margem, escolho \zeta = 0{,}55(um pouco maior que o mínimo para ficar seguro quanto ao overshoot).

Passo 5

Escolha de \omega_n a partir do tempo de acomodação e de subida:
  • Pelo requisito t_s<1{,}0\\ \mathrm{s} e usando t_s\approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n} temos \omega_n>\frac{4}{\zeta\cdot 1{,}0}=\frac{4}{0{,}55}\approx 7{,}273\\ \mathrm{rad/s}.
  • Pelo requisito t_r<0{,}5\\ \mathrm{s} usamos a expressão com \omega_d:
    calcular \varphi=\arctan\!\big(\dfrac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\big). Para \zeta=0{,}55: \sqrt{1-\zeta^2}=\sqrt{1-0{,}55^2}\approx 0{,}8353,
\varphi=\arctan\!\Big(\frac{0{,}8353}{0{,}55}\Big)\approx 0{,}989\\ \text{rad},
t_r\approx\frac{\pi-\varphi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{2{,}1526}{\omega_n\cdot 0{,}8353}\approx\frac{2{,}577}{\omega_n}.
Assim, t_r<0{,}5 implica \omega_n> \dfrac{2{,}577}{0{,}5}=5{,}154\\ \mathrm{rad/s}, que é menos restritivo que a condição do tempo de acomodação.
  • Conclusão: a condição mais exigente é \omega_n>7{,}273. Escolho um pouco acima para margem: \omega_n = 8\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Cálculo das raízes dominantes (polos desejados):
  • Com \zeta=0{,}55 e \omega_n=8, \text{pólos dominantes } s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-4{,}4\pm j\,6{,}682.ó(cálculo: -\zeta\omega_n=-0{,}55\cdot 8=-4{,}4; \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=8\cdot 0{,}8353\approx 6{,}682.)
  • Eles satisfazem: M_p = e^{-\frac{\pi\cdot 0{,}55}{0{,}8353}}\approx 0{,}126\\ (12{,}6\%),\quad t_s\approx\frac{4}{0{,}55\cdot 8}\approx 0{,}909\\ \mathrm{s},\quad t_r\approx\frac{2{,}577}{8}\approx 0{,}322\\ \mathrm{s},satisfazendo todas as três especificações (overshoot < 15%, t_s<1{,}0\\ \mathrm{s}, t_r<0{,}5\\ \mathrm{s}).

Passo 7

Escolha do terceiro polo e justificativa:
  • O sistema fechado com PID terá ordem 3 (integrador do controlador + planta 2ª ordem).
  • Para garantir que os dois polos complexos sejam dominantes, coloco o terceiro polo em uma posição significativamente mais à esquerda; escolho s_3=-12(escolha prática: aproximadamente 3 vezes mais rápido que a parte real dos polos dominantes |\Re(s_{1,2})|=4{,}4, garante que sua influência na resposta lenta seja pequena).

Passo 8

Construção do polinômio desejado do sistema em malha fechada:
  • Os polos desejados são s_{1,2}=-4{,}4\pm j6{,}682 e s_3=-12. O polinômio desejado é (s-s_1)(s-s_2)(s-s_3)=(s^2+8{,}8s+64{,}015)(s+12).Desenvolvendo: (s^2+8{,}8s+64{,}015)(s+12)=s^3+20{,}8s^2+169{,}615s+768{,}18.(aqui eu calculei 64{,}015\approx (-4{,}4)^2+(6{,}682)^2 e multipliquei por 12 para o termo constante.)

Passo 9

Expressão do polinômio em malha fechada em termos de K_p,K_i,K_d:
  • Resultado da análise algébrica (passo a passo):
    Partimos de L(s)=C(s)G(s) com C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_d s e malha unitária.
    A condição característica 1+L(s)=0 leva a, após multiplicar por s, s^3+(8+6K_d)s^2+(12+6K_p)s+6K_i=0.Esse é o polinômio em termos dos ganhos PID (mostrei os passos algébricos no cálculo: multiplicação por s para eliminar K_i/s e juntando termos).

Passo 10

Igualando coeficientes do polinômio desejado com o polinômio do sistema (resolvendo para K_d,K_p,K_i):
  • Comparando coeficientes com s^3+20{,}8s^2+169{,}615s+768{,}18=0e s^3+(8+6K_d)s^2+(12+6K_p)s+6K_i=0,obtemos o sistema linear: 8+6K_d=20{,}8,
12+6K_p=169{,}615,
6K_i=768{,}18.
  • Resolvendo: K_d=\frac{20{,}8-8}{6}=\frac{12{,}8}{6}\approx 2{,}1333,
K_p=\frac{169{,}615-12}{6}=\frac{157{,}615}{6}\approx 26{,}269,
K_i=\frac{768{,}18}{6}\approx 128{,}03.

Passo 11

Verificações e comentários práticos:
  • O integrador ( K_i>0) garante e_{ss}=0 para referência degrau (sistema tipo 1).
  • Pela construção, os polos dominantes são exatamente os escolhidos, então as especificações de overshoot, tempo de acomodação e tempo de subida são atendidas com as escolhas feitas ( \zeta=0{,}55,\\ \omega_n=8).
  • Observação prática: na implementação real costuma-se adicionar um pequeno filtro ao termo derivativo (por exemplo K_d\frac{N s}{1+N s} com N grande) para evitar amplificação de ruído; aqui o projeto usou K_d puro como ideal PID, que é o que normalmente se pede em provas. Se for implementar em hardware, use filtro e ajuste fino.

Resposta

K_p \approx 26{,}27
K_i \approx 128{,}03
K_d \approx 2{,}13

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