Para a planta G(s)=\frac{8}{s^{3}+10 s^{2}+16 s}, sintonize um controlador da família PID, utilizando o método de sintonia de Ziegler-Nichols e que elimine o erro de estado estacionário em malha fechada para uma entrada do tipo degrau unitário. (Valor 2,5).

Passo 1

O enunciado pede que eu sintonize um controlador da família PID para a planta
G(s)=\frac{8}{s^{3}+10s^{2}+16s},
usando o método de sintonia de Ziegler–Nichols (método do ganho crítico) e que o controlador elimine o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A planta é \displaystyle G(s)=\frac{8}{s^{3}+10s^{2}+16s}.
  • Queremos um controlador da família PID (pode ser PI ou PID), sintonia via Ziegler–Nichols do tipo “ultimate gain” (aumentar K proporcional até oscilações sustentadas).
  • É obrigatório eliminar erro em regime permanente para degrau → isso exige ação integral (ou seja, PI ou PID; vou usar PID).
  • Resultado final esperado: parâmetros do controlador (valores numéricos dos ganhos/constantes).

Passo 2

Estratégia: determinar o ganho crítico (ou ganho último) K_u e o período de oscilação T_u do laço unitário com controlador proporcional K puro; depois aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols para obter os parâmetros do PID. Primeiro passo técnico: achar K_u e T_u usando o critério de Routh–Hurwitz (muito prático para polinômios com parâmetro).
Montagem do laço com controlador proporcional K: a função característica do sistema em malha fechada unidade é
1 + K G(s) = 0.
Substituindo G(s):
1 + K\frac{8}{s^{3}+10s^{2}+16s}=0
multiplicando pelo denominador:
s^{3}+10s^{2}+16s + 8K = 0.
Esse é o polinômio característico cuja estabilidade depende de K. Para encontrar K_u (ganho que leva a oscilações sustentadas, i.e. fronteira de estabilidade), montamos a tabela de Routh para o polinômio
s^{3}+10s^{2}+16s + 8K.

Passo 3

Construção da tabela de Routh para o polinômio \;s^{3}+10s^{2}+16s+8K.
Linhas e coeficientes:
  • Coeficientes do polinômio: a_{3}=1,\; a_{2}=10,\; a_{1}=16,\; a_{0}=8K.
Tabela de Routh (apenas os elementos que precisamos):
linha s^{3}:\; 1 \quad 16
linha s^{2}:\; 10 \quad 8K
linha s^{1}:\; \displaystyle \frac{10\cdot 16 - 1\cdot 8K}{10} \quad 0
\text{ou seja }s^{1}:\;16 - 0,8K.
linha s^{0}:\; 8K.
Para que o sistema tenha uma par de raízes puramente imaginárias (oscilações sustentadas) a linha s^{1} deve ser zero (linha inteira zero exceto possivelmente o segundo elemento que já é zero). Então impondo
16 - 0,8K = 0
temos
K = 20.
Portanto o ganho crítico (ou ganho último) é
K_{u}=20.

Passo 4

Encontrar a frequência de oscilação \omega_{u} associada a K_{u} e daí o período T_{u}.
Quando a linha s^{1} se anula na tabela de Routh, formamos o polinômio auxiliar usando a linha acima (a linha s^{2}), que tem coeficientes 1,\;10,\;8K. O polinômio auxiliar é
A(s)=s^{2}+10s+8K.
Para K=K_{u}=20 obtemos
A(s)=s^{2}+10s+160.
As raízes imaginárias vêm da parte não-dominante de A(s) quando a componente real se anula; substituímos s=j\omega em A(s)=0:
(j\omega)^{2}+10(j\omega)+160=0
-\omega^{2}+j10\omega+160=0.
Separando partes reais e imaginárias: a parte real dá
-\omega^{2}+160=0 \;\Rightarrow\; \omega^{2}=160 \;\Rightarrow\; \omega_{u}=\sqrt{160}.
Cálculo numérico:
\omega_{u}=\sqrt{160}\approx 12{,}6491106407\\ \text{rad/s}.
O período de oscilação é
T_{u}=\frac{2\pi}{\omega_{u}}\approx \frac{2\pi}{12{,}6491106407}\approx 0{,}497348\\ \text{s}.

Passo 5

Aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols (método do ganho último) para controlador PID. A tabela clássica de Ziegler–Nichols (ultimate gain) dá, para PID na forma padrão (paralela com parâmetros K_{p},T_{i},T_{d}):
K_{p}=0{,}6\,K_{u},\quad T_{i}=0{,}5\,T_{u},\quad T_{d}=0{,}125\,T_{u}.
Substituindo K_{u}=20 e T_{u}\approx 0{,}497348\\ \text{s}:
K_{p}=0{,}6\cdot 20 = 12.
T_{i}=0{,}5\cdot 0{,}497348 \approx 0{,}248674\\ \text{s}.
T_{d}=0{,}125\cdot 0{,}497348 \approx 0{,}0621685\\ \text{s}.
Observação didática rápida: a forma paralela do PID que estou usando é
u(t)=K_{p}\left(e(t)+\frac{1}{T_{i}}\int e(t)\,dt + T_{d}\frac{de(t)}{dt}\right).
Nessa forma, o ganho integral (às vezes chamado K_{i}) vale
K_{i}=\frac{K_{p}}{T_{i}},
e o ganho derivativo (às vezes chamado K_{d}) vale
K_{d}=K_{p}T_{d}.

Passo 6

Calculemos K_{i} e K_{d} numéricos para implementação prática (lista completa de parâmetros).
Com K_{p}=12,\; T_{i}\approx 0{,}248674\\ \text{s},\; T_{d}\approx 0{,}0621685\\ \text{s}:
K_{i}=\frac{K_{p}}{T_{i}}\approx \frac{12}{0{,}248674}\approx 48{,}265.
K_{d}=K_{p}T_{d}\approx 12\cdot 0{,}0621685\approx 0{,}74602.
Comentário prático e incentivo: com esse controlador PID você terá ação integral, portanto o erro em regime permanente para degrau unitário será eliminado (isso é justamente a função da parte integral). Ziegler–Nichols fornece uma sintonia inicial boa para obter resposta oscilatória amortecida; normalmente, depois dessa sintonia inicial, recomenda-se ajustar finamente (reduzir um pouco K_{p} ou aumentar T_{i}) para reduzir overshoot e obter resposta mais suave em prova/prática. Mas para uma prova com método pedido, os valores acima são os calculados diretamente pelo método.

Resposta

K_{u}=20,\; T_{u}\approx 0{,}497348\\ \text{s}
Controlador PID (Ziegler–Nichols): K_{p}=12,\; T_{i}\approx 0{,}248674\\ \text{s},\; T_{d}\approx 0{,}0621685\\ \text{s}
Ganho integral e derivativo para implementação paralela: K_{i}\approx 48{,}265,\; K_{d}\approx 0{,}74602

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