Para a planta
, sintonize um controlador da família PID, utilizando o método de sintonia de Ziegler-Nichols e que elimine o erro de estado estacionário em malha fechada para uma entrada do tipo degrau unitário. (Valor 2,5).
Passo 1
O enunciado pede que eu sintonize um controlador da família PID para a planta
usando o método de sintonia de Ziegler–Nichols (método do ganho crítico) e que o controlador elimine o erro em regime permanente para uma entrada degrau unitário. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
- A planta é
- Queremos um controlador da família PID (pode ser PI ou PID), sintonia via Ziegler–Nichols do tipo “ultimate gain” (aumentar
proporcional até oscilações sustentadas). - É obrigatório eliminar erro em regime permanente para degrau → isso exige ação integral (ou seja, PI ou PID; vou usar PID).
- Resultado final esperado: parâmetros do controlador (valores numéricos dos ganhos/constantes).
Passo 2
Estratégia: determinar o ganho crítico (ou ganho último)
e o período de oscilação
do laço unitário com controlador proporcional
puro; depois aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols para obter os parâmetros do PID. Primeiro passo técnico: achar
e
usando o critério de Routh–Hurwitz (muito prático para polinômios com parâmetro).
Montagem do laço com controlador proporcional
: a função característica do sistema em malha fechada unidade é
Substituindo
:
multiplicando pelo denominador:
Esse é o polinômio característico cuja estabilidade depende de
. Para encontrar
(ganho que leva a oscilações sustentadas, i.e. fronteira de estabilidade), montamos a tabela de Routh para o polinômio
Passo 3
Construção da tabela de Routh para o polinômio
.
Linhas e coeficientes:
- Coeficientes do polinômio:
Tabela de Routh (apenas os elementos que precisamos):
linha
linha
linha
linha
Para que o sistema tenha uma par de raízes puramente imaginárias (oscilações sustentadas) a linha
deve ser zero (linha inteira zero exceto possivelmente o segundo elemento que já é zero). Então impondo
temos
Portanto o ganho crítico (ou ganho último) é
Passo 4
Encontrar a frequência de oscilação
associada a
e daí o período
.
Quando a linha
se anula na tabela de Routh, formamos o polinômio auxiliar usando a linha acima (a linha
), que tem coeficientes
. O polinômio auxiliar é
Para
obtemos
As raízes imaginárias vêm da parte não-dominante de
quando a componente real se anula; substituímos
em
:
Separando partes reais e imaginárias: a parte real dá
Cálculo numérico:
O período de oscilação é
Passo 5
Aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols (método do ganho último) para controlador PID. A tabela clássica de Ziegler–Nichols (ultimate gain) dá, para PID na forma padrão (paralela com parâmetros
):
Substituindo
e
:
Observação didática rápida: a forma paralela do PID que estou usando é
Nessa forma, o ganho integral (às vezes chamado
) vale
e o ganho derivativo (às vezes chamado
) vale
Passo 6
Calculemos
e
numéricos para implementação prática (lista completa de parâmetros).
Com
:
Comentário prático e incentivo: com esse controlador PID você terá ação integral, portanto o erro em regime permanente para degrau unitário será eliminado (isso é justamente a função da parte integral). Ziegler–Nichols fornece uma sintonia inicial boa para obter resposta oscilatória amortecida; normalmente, depois dessa sintonia inicial, recomenda-se ajustar finamente (reduzir um pouco
ou aumentar
) para reduzir overshoot e obter resposta mais suave em prova/prática. Mas para uma prova com método pedido, os valores acima são os calculados diretamente pelo método.
Resposta
Controlador PID (Ziegler–Nichols):
Ganho integral e derivativo para implementação paralela: