Plote as seguintes elipses:
x^2+8 x+y^2-8 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa plotar a elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente o completar o quadrado, para transformar essa equação na forma padrão da elipse. Assim, conseguimos identificar o centro e os eixos da elipse, facilitando o desenho do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de x^2 + 8x + y^2 - 8y = 0 e separadamente:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 8x = (x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16 . Lembre-se que para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de y^2 - 8y = (y^2 - 8y + 16) - 16 = (y - 4)^2 - 16 :

Passo 5

Substituímos as expressões completas na equação original:
(x + 4)^2 - 16 + (y - 4)^2 - 16 = 0
(x + 4)^2 + (y - 4)^2 - 32 = 0

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos para deixar a equação na forma padrão:
(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 32

Passo 7

Dividimos os dois lados por 32 para que o lado direito seja igual a 1:
(x + 4)^232 + (y - 4)^232 = 1

Passo 8

Agora, essa é a forma padrão da equação da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, e e são os semi-eixos.

Passo 9

Comparando com a nossa equação:
(x + 4)^232 + (y - 4)^232 = 1
Podemos ver que:
  • Centro
  • Semi-eixos e

Passo 10

Como , isso indica que a nossa “elipse” na verdade é um círculo com raio .

Resposta

A elipse tem centro no ponto e os semi-eixos de comprimento . Portanto, para plotar a elipse, desenhe um círculo centrado em com raio .

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