Podemos formar operadores (tensores) mais gerais tomando-se a soma de díadas (diádica). Um tensor bem simples é o tensor unidade, definido pela diádica
\mathbf{1}=\hat{x} \hat{x}+\hat{y} \hat{y}+\hat{z} \hat{z}
Mostre que \mathbf{1} \cdot \vec{A}=\vec{A} e que c \mathbf{1} \cdot \vec{A}=c \vec{A} em que c é uma constante e c \mathbf{1} é chamado de tensor constante.

Passo 1

O enunciado dá o tensor unidade definido pela diádica
\mathbf{1}=\hat{x}\hat{x}+\hat{y}\hat{y}+\hat{z}\hat{z}
e pede para mostrar duas coisas:
\mathbf{1}\cdot\vec{A}=\vec{A}
e
c\,\mathbf{1}\cdot\vec{A}=c\,\vec{A},
em que c é uma constante e c\,\mathbf{1} é chamado de tensor constante. Todas as informações relevantes estão nessa definição da diádica \mathbf{1} e na presença de uma constante c.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma diádica do tipo \hat{u}\hat{v} agindo sobre um vetor. Por definição (modo operacional),
(\hat{u}\hat{v})\cdot\vec{A}=\hat{u}\,(\hat{v}\cdot\vec{A}).
Isto quer dizer: primeiro faço o produto escalar de \hat{v} com \vec{A} (isto é um número), e depois multiplico esse número pelo vetor \hat{u}. Em palavras: a diádica projecta \vec{A} na direção \hat{v} e reorienta o resultado na direção \hat{u}. Esta é a regra de ação que vamos usar repetidas vezes.

Passo 3

Escrevemos o vetor \vec{A} na base canônica ortonormal \{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}:
\vec{A}=A_x\,\hat{x}+A_y\,\hat{y}+A_z\,\hat{z},
onde A_x, A_y, A_z são as componentes escalares de \vec{A}. Lembrando também a propriedade de ortonormalidade da base:
\hat{x}\cdot\hat{x}=1,\quad \hat{y}\cdot\hat{y}=1,\quad \hat{z}\cdot\hat{z}=1,
e
\hat{x}\cdot\hat{y}=\hat{x}\cdot\hat{z}=\hat{y}\cdot\hat{z}=0.

Passo 4

Agora aplicamos cada termo da soma que define \mathbf{1} sobre \vec{A}. Usando a regra do Passo 2 temos:
(\hat{x}\hat{x})\cdot\vec{A}=\hat{x}\,(\hat{x}\cdot\vec{A}).
Mas \hat{x}\cdot\vec{A}=A_x (pela decomposição do Passo 3), logo
(\hat{x}\hat{x})\cdot\vec{A}=\hat{x}\,A_x=A_x\,\hat{x}.

Passo 5

De forma análoga calculamos os outros dois termos:
(\hat{y}\hat{y})\cdot\vec{A}=\hat{y}\,(\hat{y}\cdot\vec{A})=\hat{y}\,A_y=A_y\,\hat{y},
(\hat{z}\hat{z})\cdot\vec{A}=\hat{z}\,(\hat{z}\cdot\vec{A})=\hat{z}\,A_z=A_z\,\hat{z}.

Passo 6

Somando os três resultados (porque \mathbf{1} é a soma dessas diádicas) obtemos
\mathbf{1}\cdot\vec{A}=(\hat{x}\hat{x}+\hat{y}\hat{y}+\hat{z}\hat{z})\cdot\vec{A}=A_x\,\hat{x}+A_y\,\hat{y}+A_z\,\hat{z}.
Mas a soma à direita é exatamente a expansão de \vec{A} (veja Passo 3). Portanto concluímos
\mathbf{1}\cdot\vec{A}=\vec{A}.

Passo 7

Agora a propriedade com a constante c. Como multiplicação por escalar é distributiva e associativa com respeito à ação do tensor, podemos escrever
(c\,\mathbf{1})\cdot\vec{A}=c\,(\mathbf{1}\cdot\vec{A}).
Usando o resultado do Passo 6, isto dá
(c\,\mathbf{1})\cdot\vec{A}=c\,\vec{A}.
Intuitivamente: primeiro a constante escala o operador identidade, mas esse operador apenas devolve o vetor, então o escalar sai multiplicando o vetor final.

Passo 8

Opcional (forma por componentes/Kronecker): o tensor unidade tem componentes \,1_{ij}=\delta_{ij}\, (delta de Kronecker). A ação em componentes é
(\mathbf{1}\cdot\vec{A})_i=1_{ij}A_j=\delta_{ij}A_j=A_i,
que reconfirma \mathbf{1}\cdot\vec{A}=\vec{A}. E com escalar,
(c\,\mathbf{1}\cdot\vec{A})_i=c\,\delta_{ij}A_j=c\,A_i,
ou seja c\,\mathbf{1}\cdot\vec{A}=c\,\vec{A}.

Resposta

\mathbf{1}\cdot\vec{A}=\vec{A}\n
c\,\mathbf{1}\cdot\vec{A}=c\,\vec{A}

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