Podemos formar operadores (tensores) mais gerais tomando-se a soma de díadas (diádica). Um tensor bem simples é o tensor unidade, definido pela diádica
Mostre que
e que
em que
é uma constante e
é chamado de tensor constante.
Passo 1
O enunciado dá o tensor unidade definido pela diádica
e pede para mostrar duas coisas:
e
em que
é uma constante e
é chamado de tensor constante. Todas as informações relevantes estão nessa definição da diádica
e na presença de uma constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma diádica do tipo
agindo sobre um vetor. Por definição (modo operacional),
Isto quer dizer: primeiro faço o produto escalar de
com
(isto é um número), e depois multiplico esse número pelo vetor
. Em palavras: a diádica projecta
na direção
e reorienta o resultado na direção
. Esta é a regra de ação que vamos usar repetidas vezes.
Passo 3
Escrevemos o vetor
na base canônica ortonormal
:
onde
,
,
são as componentes escalares de
. Lembrando também a propriedade de ortonormalidade da base:
e
Passo 4
Agora aplicamos cada termo da soma que define
sobre
. Usando a regra do Passo 2 temos:
Mas
(pela decomposição do Passo 3), logo
Passo 5
De forma análoga calculamos os outros dois termos:
Passo 6
Somando os três resultados (porque
é a soma dessas diádicas) obtemos
Mas a soma à direita é exatamente a expansão de
(veja Passo 3). Portanto concluímos
Passo 7
Agora a propriedade com a constante
. Como multiplicação por escalar é distributiva e associativa com respeito à ação do tensor, podemos escrever
Usando o resultado do Passo 6, isto dá
Intuitivamente: primeiro a constante escala o operador identidade, mas esse operador apenas devolve o vetor, então o escalar sai multiplicando o vetor final.
Passo 8
Opcional (forma por componentes/Kronecker): o tensor unidade tem componentes
(delta de Kronecker). A ação em componentes é
que reconfirma
. E com escalar,
ou seja
.