- Em um polígono temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos dá
. Logo, esse polígono é um:
a) hexágono
b) heptágono
c) octógono
d) eneágono
a) hexágono
b) heptágono
c) octógono
d) eneágono
Passo 1
O enunciado dá a informação e pergunta claramente o seguinte:
- Informação dada: a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um polígono é
. - Pergunta: qual é o polígono (ou seja, quantos lados tem) entre as alternativas: (a) hexágono, (b) heptágono, (c) octógono, (d) eneágono?
Passo 2
Vamos lembrar e justificar a fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono com
lados. Se pegar um vértice qualquer e traçar diagonais desse vértice para todos os outros vértices não adjacentes, o polígono é dividido em
triângulos. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a
. Portanto a soma dos ângulos internos
é
Explicando devagar: há
triângulos porque, além dos dois lados que já formam o vértice, cada um dos demais
vértices gera uma diagonal, totalizando
triângulos (para
dá 1 triângulo, etc.).
Passo 3
Agora a soma dos ângulos externos. Tome um ângulo externo em cada vértice definido como o ângulo formado entre a extensão de um lado e o lado adjacente (ou, equivalentemente, o ângulo de “virada” ao caminhar ao redor do polígono no mesmo sentido). Ao percorrer todo o polígono fazendo essas “viradas”, faz-se uma rotação completa de
. Assim a soma das medidas dos ângulos externos
é
Uma justificativa alternativa (algebricamente): cada ângulo externo é
(ângulo interno), então
Substituindo
nessa expressão obtém-se
, como acima.
Passo 4
Formulamos a equação que o enunciado dá: a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos vale
. Em símbolos:
Substituindo as fórmulas das somas:
Passo 5
Resolvendo a equação passo a passo:
Passo 6
Verificação rápida: se
, então
e
, que bate com o enunciado. Portanto o polígono tem
lados.
Resposta
c) octógono