1. Em um polígono temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos dá 1440^{\circ}. Logo, esse polígono é um:
    a) hexágono
    b) heptágono
    c) octógono
    d) eneágono

Passo 1

O enunciado dá a informação e pergunta claramente o seguinte:
  • Informação dada: a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um polígono é 1440^\circ.
  • Pergunta: qual é o polígono (ou seja, quantos lados tem) entre as alternativas: (a) hexágono, (b) heptágono, (c) octógono, (d) eneágono?

Passo 2

Vamos lembrar e justificar a fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono com n lados. Se pegar um vértice qualquer e traçar diagonais desse vértice para todos os outros vértices não adjacentes, o polígono é dividido em n-2 triângulos. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ. Portanto a soma dos ângulos internos S_{\text{int}} é
S_{\text{int}}=(n-2)\cdot 180^\circ.
Explicando devagar: há n-2 triângulos porque, além dos dois lados que já formam o vértice, cada um dos demais n-3 vértices gera uma diagonal, totalizando n-2 triângulos (para n=3 dá 1 triângulo, etc.).

Passo 3

Agora a soma dos ângulos externos. Tome um ângulo externo em cada vértice definido como o ângulo formado entre a extensão de um lado e o lado adjacente (ou, equivalentemente, o ângulo de “virada” ao caminhar ao redor do polígono no mesmo sentido). Ao percorrer todo o polígono fazendo essas “viradas”, faz-se uma rotação completa de 360^\circ. Assim a soma das medidas dos ângulos externos S_{\text{ext}} é
S_{\text{ext}}=360^\circ.
Uma justificativa alternativa (algebricamente): cada ângulo externo é 180^\circ\!- (ângulo interno), então
S_{\text{ext}}=\sum_{i=1}^{n}\bigl(180^\circ-\text{ângulo interno}_i\bigr)=180^\circ n - S_{\text{int}}.â
Substituindo S_{\text{int}}=(n-2)\cdot180^\circ nessa expressão obtém-se S_{\text{ext}}=360^\circ, como acima.

Passo 4

Formulamos a equação que o enunciado dá: a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos vale 1440^\circ. Em símbolos:
S_{\text{int}}+S_{\text{ext}}=1440^\circ.
Substituindo as fórmulas das somas:
(n-2)\cdot 180^\circ + 360^\circ = 1440^\circ.

Passo 5

Resolvendo a equação passo a passo:
(n-2)\cdot 180^\circ + 360^\circ = 1440^\circ
180^\circ n - 360^\circ + 360^\circ = 1440^\circ
180^\circ n = 1440^\circ
n = \frac{1440^\circ}{180^\circ} = 8.

Passo 6

Verificação rápida: se n=8, então
S_{\text{int}}=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ,
S_{\text{ext}}=360^\circ,
e 1080^\circ+360^\circ=1440^\circ, que bate com o enunciado. Portanto o polígono tem 8 lados.

Resposta

c) octógono