Um polímero com peso molecular médio igual a 200.000 Da (unidade de massa atômica) é contaminado com 0,5 \% de uma impureza com 100 Da, possivelmente, o monômero. Calcule o erro na determinação do peso molecular, se for usada uma solução aquosa de 0,02 \mathrm{~g} / \mathrm{l}. Assuma que a temperatura é 25,0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá um polímero cuja massa molar real é M_p=200\,000 Da, contaminado em 0,5\% em massa por uma impureza de massa molar M_i=100 Da. Queremos saber o erro ao determinar o peso molecular por medida de pressão osmótica em uma solução aquosa de concentração 0,02\;\mathrm{g/L} a 25,0\,^\circ\mathrm{C}. O conteúdo chave é a relação coligativa
\Pi = \frac{n}{V}RT = \frac{m}{M}\,\frac{RT}{V}
e como ela se modifica numa mistura de solutos.

Passo 2

Para uma mistura de polímero e impureza a pressão osmótica é
\Pi = \Bigl(\frac{m_p}{M_p} + \frac{m_i}{M_i}\Bigr)\frac{RT}{V}
Se ignorássemos a impureza, calcularíamos o peso molar aparente M_{\text{app}} por
\Pi = \frac{m_{\text{tot}}}{M_{\text{app}}}\,\frac{RT}{V}
Logo, igualando as duas expressões:
\frac{m_{\text{tot}}}{M_{\text{app}}} = \frac{m_p}{M_p} + \frac{m_i}{M_i}.

Passo 3

Definindo as frações em massa
\omega_p=0,995 e \omega_i=0,005 de polímero e impureza, respectivamente, temos
m_p = \omega_p\,m_{\text{tot}},\quad m_i = \omega_i\,m_{\text{tot}}
e portanto
\frac{1}{M_{\text{app}}} = \frac{\omega_p}{M_p} + \frac{\omega_i}{M_i}.

Passo 4

Substituindo valores:
\frac{1}{M_{\text{app}}} = \frac{0,995}{200\,000} + \frac{0,005}{100} = 4{,}975\times10^{-6} + 5{,}0\times10^{-5} =5{,}4975\times10^{-5},
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M_{\text{app}} = \frac{1}{5{,}4975\times10^{-5}} \approx 1{,}82\times10^{4}\;\text{Da}.

Passo 5

O erro absoluto na massa molar é
\Delta M = M_{\text{app}} - M_p \approx 1{,}82\times10^{4} - 2{,}00\times10^{5} = -1{,}82\times10^{5}\;\text{Da},
e o erro relativo é
\frac{\Delta M}{M_p}\times100\% \approx -91\%.
Ou seja, o método subestima o peso molecular em cerca de 91\%.

Resposta

M_{\text{app}}\approx1{,}82\times10^{4} Da, erro relativo de aproximadamente 91\%.

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