(1 ponto) A barra fina uniforme tem uma massa de
. Determine as componentes verticais e horizontais da reação no pino
, e a aceleração angular da barra logo após a corda ser cortada. (Equivalente ao Problema Fundamental 17.11 p. 347)
Passo 1
O enunciado dado (sem figura) informa que a barra fina uniforme tem massa
e pede:
- as componentes vertical e horizontal da reação no pino
imediatamente após a corda ser cortada; - a aceleração angular da barra imediatamente após a corda ser cortada.
Informações que estão faltando e que são necessárias para um resultado numérico completo:
- a configuração geométrica exata (como a barra está orientada antes do corte, onde a corda está presa, e a distância/ comprimento da barra
); - em particular, o comprimento
da barra ou o braço de momento entre e o centro de massa, e o ângulo da barra em relação à vertical/horizontal se não for horizontal.
Sem a figura ou esses dados geométricos não é possível dar a aceleração angular numérica (pois ela depende de
). Abaixo eu explico passo a passo a solução para a configuração mais comum desse tipo de problema (barra uniforme de comprimento
articulada em uma extremidade
, inicialmente horizontal e mantida em equilíbrio por uma corda no extremo livre), e dou as expressões gerais que se aplicam a essa configuração. Se a sua figura for diferente, os mesmos princípios valem, mas será preciso substituir as distâncias/ângulos apropriados.
Passo 2
Descrição física e escolha do método (sem calcular ainda). Logo após a corda ser cortada a barra passa a girar em torno do pino
(o pino impede translação do ponto
, então o movimento instantâneo é rotação em torno de
). Para obter a aceleração angular
usa-se o momento das forças em relação ao pino e a equação do movimento rotacional:
onde
é o momento de inércia da barra em relação ao pino
. Para a reação no pino usamos as equações do movimento linear do centro de massa
:
onde
é a aceleração do centro de massa imediatamente após o corte, que pode ser obtida a partir de
(pois
tem componente tangencial
e componente radial dependente da velocidade angular; como a velocidade angular inicial é zero, a componente radial é nula no instante imediatamente após o corte).
Vou agora aplicar esse método à configuração padrão indicada acima (barra inicialmente horizontal, presa em
numa extremidade, corda no extremo livre).
Passo 3
Geometria e momentos para a configuração padrão (barra horizontal, comprimento
, massa
). Para uma barra uniforme de comprimento
articulada em uma extremidade:
- o centro de massa
fica à distância de ; - o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano passando por
é
Imediatamente após a corda ser cortada, a única força externa que produz momento em relação a
é o peso
agindo em
. Para a barra inicialmente horizontal, o braço perpendicular do peso em relação a
é
. Portanto o momento em relação a
é
(sentido que produz rotação que faz cair a barra com a extremidade livre para baixo).
Aplicando
:
Passo 4
Calcular
(configuração padrão). Cancelando
e
quando possível:
Portanto, para a barra inicialmente horizontal a magnitude da aceleração angular imediatamente após o corte é
com sentido tal que a extremidade livre cai (no esquema usual isso é no sentido horário).
Observação: essa expressão depende de
. Sem
não dá para numericamente avaliar
.
Passo 5
Aceleração do centro de massa
e reações no pino (configuração padrão). A componente tangencial da aceleração de
vale
Substituindo
obtemos
Nesse instante a velocidade angular inicial é nula, logo não há componente centrípeta; assim a aceleração de
é puramente tangencial (vertical, no caso da barra horizontal que começa a girar para baixo) de magnitude
dirigida para baixo.
Agora escrevemos as equações de Newton para as componentes da força no pino
. Tomando para cima e para a direita sinais positivos:
- na direção
: não há aceleração horizontal do centro de massa (a aceleração de é vertical), então
- na direção
: somando forças verticais,
Como
(negativo porque é para baixo), obtemos
Substituindo
e
:
e
Passo 6
Interpretação e observações finais. Resumo para a configuração padrão (barra inicialmente horizontal, corda presa na extremidade livre):
- A reação horizontal no pino é nula:
. - A reação vertical no pino é para cima e igual a um quarto do peso:
. Com isso dá (aprox. ). - A aceleração angular imediata é
(direção tal que a extremidade livre cai). Para obter o valor numérico de é preciso conhecer o comprimento .
Se a figura do seu enunciado for diferente (por exemplo corda presa em um ponto distinto, barra inclinada antes do corte, pino não em uma extremidade, etc.), os passos acima mostram o procedimento: obter o momento do peso em relação a
, usar
apropriado e calcular
; depois usar
associado a
e aplicar
e
para obter
e
. Se quiser, me envie a figura ou informe o comprimento
e a orientação da barra que eu faço os cálculos numéricos específicos para o seu caso.