(1 ponto) A esfera de 25 k g rola para baixo sobre o plano inclinado sem deslizar. Determine a aceleração angular da esfera e a aceleração de seu centro de massa. (Equivalente ao Problema Fundamental 17.16 p. 361)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto (peguei os dados diretamente do enunciado):
  • Massa da esfera: \,m=25\\ \mathrm{kg}.
  • A esfera rola sem deslizar sobre um plano inclinado de ângulo \theta (o enunciado não fornece o raio R nem o ângulo numérico, portanto a resposta ficará em termos de \theta e R).
  • Determinar:
    • a aceleração angular da esfera \alpha;
    • a aceleração do centro de massa a.
Informações relevantes que usaremos (definições e variáveis que aparecerão):
  • g é a aceleração da gravidade;
  • f é a força de atrito estático (direção a determinar);
  • I é o momento de inércia da esfera em relação ao seu centro (para uma esfera sólida I=\dfrac{2}{5}mR^{2});
  • relação de não-deslizamento (rolling without slipping): a=\alpha R, onde a é a aceleração do centro de massa e R é o raio da esfera.

Passo 2

Desenhar mentalmente (ou no rascunho) as forças que atuam na esfera ao longo do plano inclinado:
  • a componente do peso ao longo do plano: \,m g \sin\theta, empurrando a esfera para baixo ao longo do plano;
  • a força de atrito estático f, que, para o rolamento para baixo, atua para cima ao longo do plano (ela fornece o torque que faz a esfera girar);
  • a equação de movimento de translação ao longo do plano (segunda lei de Newton, força resultante = massa × aceleração) será usada.

Passo 3

Escrever a equação de tradução (movimento do centro de massa) ao longo da direção do plano:
m a = m g \sin\theta - f.
Aqui:
  • m é a massa;
  • a é a aceleração do centro de massa (para baixo do plano é positiva);
  • f é a força de atrito estático (positiva para cima do plano, por isso subtrai).

Passo 4

Escrever a equação de rotação (torque em torno do centro) usando a segunda lei de Newton para rotação:
\sum \tau = I\,\alpha.
O único torque que causa rotação é o torque devido à força de atrito f, cujo braço é R, e o sentido é tal que f tende a girar a esfera fazendo-a girar para acompanhar o rolamento para baixo. Assim:
f R = I\,\alpha.

Passo 5

Inserir o momento de inércia da esfera sólida e a condição de não deslizamento. Para uma esfera homogênea sólida:
I = \frac{2}{5} m R^{2}.
A condição de não-deslizamento é:
a = \alpha R \quad\text{ou}\quad \alpha = \frac{a}{R}.

Passo 6

Substituir \alpha=\dfrac{a}{R} e I=\dfrac{2}{5}mR^{2} na equação de torque fR=I\alpha:
fR = \left(\frac{2}{5}mR^{2}\right)\left(\frac{a}{R}\right).
Simplificando:
fR = \frac{2}{5}mR a \quad\Rightarrow\quad f = \frac{2}{5} m a.

Passo 7

Voltar à equação de translação m a = m g \sin\theta - f e substituir f=\dfrac{2}{5}m a:
m a = m g \sin\theta - \frac{2}{5}m a.
Colocar os termos com a no mesmo lado:
m a + \frac{2}{5}m a = m g \sin\theta.
Fatorando m a:
\left(1+\frac{2}{5}\right)m a = m g \sin\theta.
Calcular 1+\dfrac{2}{5}=\dfrac{7}{5}, e cancelar m (ele aparece em todos os termos):
\frac{7}{5} a = g \sin\theta \quad\Rightarrow\quad a = \frac{5}{7}\,g\sin\theta.

Passo 8

Usar a relação de não-deslizamento para obter a aceleração angular \alpha:
\alpha = \frac{a}{R} = \frac{1}{R}\left(\frac{5}{7} g \sin\theta\right) = \frac{5}{7}\,\frac{g\sin\theta}{R}.

Passo 9

Opcional — calcular um valor numérico aproximado para a usando g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
a \approx \frac{5}{7}\cdot 9{,}8\sin\theta \approx 7{,}0\,\sin\theta\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Isto é só para dar intuição; a resposta exata simbólica foi obtida nos passos anteriores.)

Passo 10

Resumo físico e observação final curta: a massa m cancelou, portanto a aceleração não depende de m. A presença do momento de inércia reduz a aceleração linear em comparação com um bloco deslizando sem atrito; para a esfera sólida o fator é 5/7. Força de atrito estático necessária (módulo) é f=\dfrac{2}{5}m a=\dfrac{2}{7}m g\sin\theta (útil se precisar do atrito).

Resposta

\displaystyle a=\dfrac{5}{7}\,g\sin\theta
\displaystyle \alpha=\dfrac{5}{7}\,\dfrac{g\sin\theta}{R}

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