(1 ponto) A esfera de
rola para baixo sobre o plano inclinado sem deslizar. Determine a aceleração angular da esfera e a aceleração de seu centro de massa. (Equivalente ao Problema Fundamental 17.16 p. 361)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto (peguei os dados diretamente do enunciado):
- Massa da esfera:
. - A esfera rola sem deslizar sobre um plano inclinado de ângulo
(o enunciado não fornece o raio nem o ângulo numérico, portanto a resposta ficará em termos de e ). - Determinar:
- a aceleração angular da esfera
; - a aceleração do centro de massa
.
- a aceleração angular da esfera
Informações relevantes que usaremos (definições e variáveis que aparecerão):
-
é a aceleração da gravidade; -
é a força de atrito estático (direção a determinar); -
é o momento de inércia da esfera em relação ao seu centro (para uma esfera sólida ); - relação de não-deslizamento (rolling without slipping):
, onde é a aceleração do centro de massa e é o raio da esfera.
Passo 2
Desenhar mentalmente (ou no rascunho) as forças que atuam na esfera ao longo do plano inclinado:
- a componente do peso ao longo do plano:
, empurrando a esfera para baixo ao longo do plano; - a força de atrito estático
, que, para o rolamento para baixo, atua para cima ao longo do plano (ela fornece o torque que faz a esfera girar); - a equação de movimento de translação ao longo do plano (segunda lei de Newton, força resultante = massa × aceleração) será usada.
Passo 3
Escrever a equação de tradução (movimento do centro de massa) ao longo da direção do plano:
Aqui:
-
é a massa; -
é a aceleração do centro de massa (para baixo do plano é positiva); -
é a força de atrito estático (positiva para cima do plano, por isso subtrai).
Passo 4
Escrever a equação de rotação (torque em torno do centro) usando a segunda lei de Newton para rotação:
O único torque que causa rotação é o torque devido à força de atrito
, cujo braço é
, e o sentido é tal que
tende a girar a esfera fazendo-a girar para acompanhar o rolamento para baixo. Assim:
Passo 5
Inserir o momento de inércia da esfera sólida e a condição de não deslizamento. Para uma esfera homogênea sólida:
A condição de não-deslizamento é:
Passo 6
Substituir
e
na equação de torque
:
Simplificando:
Passo 7
Voltar à equação de translação
e substituir
:
Colocar os termos com
no mesmo lado:
Fatorando
:
Calcular
, e cancelar
(ele aparece em todos os termos):
Passo 8
Usar a relação de não-deslizamento para obter a aceleração angular
:
Passo 9
Opcional — calcular um valor numérico aproximado para
usando
:
(Isto é só para dar intuição; a resposta exata simbólica foi obtida nos passos anteriores.)
Passo 10
Resumo físico e observação final curta: a massa
cancelou, portanto a aceleração não depende de
. A presença do momento de inércia reduz a aceleração linear em comparação com um bloco deslizando sem atrito; para a esfera sólida o fator é
. Força de atrito estático necessária (módulo) é
(útil se precisar do atrito).