(a) (1 ponto) Expresse a área da região limitada pelas retas x=0, y=0 e x+y=2 como uma integral dupla e calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Expressar a área da região limitada pelas retas x=0, y=0 e x+y=2 como uma integral dupla.
  • Calcular essa integral (ou seja, encontrar a área numérica).
As informações fornecidas são exatamente as equações das três retas que delimitam a região.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região. As interseções das retas são:
  • x=0 com y=0 em (0,0).
  • x=0 com x+y=2 em (0,2).
  • y=0 com x+y=2 em (2,0).
Portanto a região R é o triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (0,2) e (2,0). Visualizar isso ajuda a escolher limites de integração.

Passo 3

Lembrete prático: a área de uma região R no plano pode ser escrita como integral dupla da função constante 1 sobre R:
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA.Á
Isto é intuitivo: somamos “pequenas áreas” dA sobre toda a região.

Passo 4

Agora escolhemos como colocar os limites. Para este triângulo é natural fixar x primeiro e deixar y variar entre a linha inferior y=0 e a linha superior y=2-x. Assim x varia de 0 a 2. A integral fica:
\iint_{R} 1\,dA = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x} 1\,dy\,dx.
Observação: também seria correto trocar a ordem e escrever
\iint_{R} 1\,dA = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{2-y} 1\,dx\,dy,
mas vou calcular a primeira forma.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro a integral interna:
\int_{y=0}^{2-x} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{2-x} = 2-x.
Agora a integral externa:
\int_{x=0}^{2} (2-x)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} 2\,dx = \bigl[2x\bigr]_{0}^{2} = 4,
\int_{0}^{2} x\,dx = \bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2} = \tfrac{4}{2}=2.
Subtraindo:
\int_{0}^{2} (2-x)\,dx = 4-2=2.

Passo 6

Checagem rápida (intuitiva): o triângulo tem base 2 e altura 2, então pela fórmula da área do triângulo \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot2=2. Confere com o cálculo da integral.

Resposta

\iint_{R} 1\,dA = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x} 1\,dy\,dx
\text{Área}(R)=2Á