(a) (1 ponto) Expresse a área da região limitada pelas retas
e
como uma integral dupla e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Expressar a área da região limitada pelas retas
, e como uma integral dupla. - Calcular essa integral (ou seja, encontrar a área numérica).
As informações fornecidas são exatamente as equações das três retas que delimitam a região.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região. As interseções das retas são:
-
com em . -
com em . -
com em .
Portanto a região
é o triângulo no primeiro quadrante com vértices em
,
e
. Visualizar isso ajuda a escolher limites de integração.
Passo 3
Lembrete prático: a área de uma região
no plano pode ser escrita como integral dupla da função constante
sobre
:
Isto é intuitivo: somamos “pequenas áreas”
sobre toda a região.
Passo 4
Agora escolhemos como colocar os limites. Para este triângulo é natural fixar
primeiro e deixar
variar entre a linha inferior
e a linha superior
. Assim
varia de
a
. A integral fica:
Observação: também seria correto trocar a ordem e escrever
mas vou calcular a primeira forma.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro a integral interna:
Agora a integral externa:
Integramos termo a termo:
Subtraindo:
Passo 6
Checagem rápida (intuitiva): o triângulo tem base
e altura
, então pela fórmula da área do triângulo
. Confere com o cálculo da integral.