Pelo ponto \mathbf{P}=(1,1,-1) determinar a reta perpendicular ao plano
\pi: \quad X=\lambda(1,1,5)+\mu(0,0,-1)

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por \mathbf{P}=(1,1,-1) e é perpendicular ao plano
\pi:\;X=\lambda(1,1,5)+\mu(0,0,-1).
Para isso precisamos obter um vetor normal a \pi e usá-lo como direção da reta.

Passo 2

Os vetores diretores de \pi são
\mathbf{v}_1=(1,1,5), \qquad \mathbf{v}_2=(0,0,-1).
O vetor normal \mathbf{n} é dado por \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
\mathbf{n} =\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&5\\\\ 0&0&-1 \end{vmatrix} =(-1,\,1,\,0).
Podemos também usar \mathbf{n}=(1,-1,0), que é colinear e mais simples.

Passo 4

A reta buscada passa por \mathbf{P} e tem direção \mathbf{n}=(1,-1,0). Logo, em forma paramétrica:
\mathbf{r}(t) =(1,1,-1)+t\,(1,-1,0), \quad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas:
\begin{cases} x=1+t,\\\ y=1-t,\\\ z=-1. \end{cases}

Resposta

\mathbf{r}(t)=(1,1,-1)+t\,(1,-1,0),\quad t\in\mathbb{R}.

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