(1 ponto) O que podemos falar sobre o dual do PPL a seguir:
A. O dual não tem solução ótima, mas apresenta valor ótimo
(“menos infinito”).
B. O dual não tem solução ótima, mas apresenta valor ótimo
(“mais infinito”).
C. O dual não tem solução ótima porque é inviável.
D. O dual possui solução ótima com valor igual a zero.
E. O dual possui solução ótima com valor diferente de zero.
B. O dual não tem solução ótima, mas apresenta valor ótimo
C. O dual não tem solução ótima porque é inviável.
D. O dual possui solução ótima com valor igual a zero.
E. O dual possui solução ótima com valor diferente de zero.
Passo 1
O enunciado pede que a gente fale sobre o dual do problema primal dado. O primal é:
Informações relevantes fornecidas:
- A função objetivo tem coeficientes
e . - As únicas restrições são
e ; não há outras desigualdades nem igualdades. - Precisamos escolher entre as alternativas A, B, C, D ou E sobre o dual.
Passo 2
Verificamos primeiro o primal (para ter intuição e usar dualidade):
- Para qualquer
vale e , logo
- O ponto
é factível e dá valor objetivo
- Como o objetivo não pode ser negativo e atinge
no ponto factível, o mínimo do primal é e é atingido em .
Explicando de forma bem direta: coeficientes positivos + variáveis não-negativas ⇒ melhor é zerar as variáveis.
Passo 3
Vamos construir o dual de forma formal e didática. Uma forma padrão de escrever duals é considerar o primal no formato
cujo dual é
No nosso caso não há restrições do tipo
além da condição
. Isso significa que podemos tomar
como uma matriz com zero linhas (dimensão
) e
como o vetor vazio (dimensão
). Assim o dual fica com um vetor
de dimensão zero (ou seja, não há variáveis duales reais — apenas o vetor vazio).
Escrevendo explicitamente:
- O objetivo dual é
. Como é vetor vazio, é a soma vazia, que vale . - As restrições
tornam-se (produto de matriz por vetor -dimensional dá o vetor nulo de dimensão 2). Como , as desigualdades e são satisfeitas. - A condição
é trivial para o vetor vazio.
Portanto o dual é viável (existe a solução “vetor vazio”) e seu valor objetivo é
.
Passo 4
Relacionando primal e dual:
- Encontramos que o primal tem solução ótima com valor
. - Encontramos que o dual é viável e seu valor objetivo (para a única “solução” possível) é
.
Pela desigualdade fraca da dualidade (e aqui pela coincidência dos valores), ambos têm valor ótimo igual a. Logo o dual possui solução ótima e o valor ótimo é .
Passo 5
Eliminação rápida das alternativas:
- A e B (valores ótimos
ou ) são falsas porque mostramos que o dual tem valor finito igual a . - C (dual inviável) é falsa porque exibimos que as restrições do dual são satisfeitas.
- D (dual possui solução ótima com valor igual a zero) é exatamente o que concluímos.
- E (valor diferente de zero) é falsa pois o valor ótimo do dual é
.
Resposta
D.