(1 ponto) O que podemos falar sobre o dual do PPL a seguir:
\begin{aligned} \min & 3 x_{1}+4 x_{2} \\\ \text { sa } & x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{aligned}
A. O dual não tem solução ótima, mas apresenta valor ótimo -\infty (“menos infinito”).
B. O dual não tem solução ótima, mas apresenta valor ótimo +\infty (“mais infinito”).
C. O dual não tem solução ótima porque é inviável.
D. O dual possui solução ótima com valor igual a zero.
E. O dual possui solução ótima com valor diferente de zero.

Passo 1

O enunciado pede que a gente fale sobre o dual do problema primal dado. O primal é:
\begin{aligned} \min\\ & 3x_{1}+4x_{2}\\\ \text{ s.a. }& x_{1},x_{2}\ge 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função objetivo tem coeficientes 3 e 4.
  • As únicas restrições são x_{1}\ge 0 e x_{2}\ge 0; não há outras desigualdades nem igualdades.
  • Precisamos escolher entre as alternativas A, B, C, D ou E sobre o dual.

Passo 2

Verificamos primeiro o primal (para ter intuição e usar dualidade):
  • Para qualquer x_{1},x_{2}\ge 0 vale 3x_{1}\ge 0 e 4x_{2}\ge 0, logo
3x_{1}+4x_{2}\ge 0.
  • O ponto x_{1}=0,\;x_{2}=0 é factível e dá valor objetivo
3\cdot 0+4\cdot 0=0.
  • Como o objetivo não pode ser negativo e atinge 0 no ponto factível, o mínimo do primal é \;0\; e é atingido em (0,0).
Explicando de forma bem direta: coeficientes positivos + variáveis não-negativas ⇒ melhor é zerar as variáveis.

Passo 3

Vamos construir o dual de forma formal e didática. Uma forma padrão de escrever duals é considerar o primal no formato
\min\; c^{T}x\quad\text{s.a.}\quad A x \ge b,\; x\ge 0,
cujo dual é
\max\; b^{T}y\quad\text{s.a.}\quad A^{T}y \le c,\; y\ge 0.
No nosso caso não há restrições do tipo A x \ge b além da condição x\ge 0. Isso significa que podemos tomar A como uma matriz com zero linhas (dimensão 0\times 2) e b como o vetor vazio (dimensão 0). Assim o dual fica com um vetor y de dimensão zero (ou seja, não há variáveis duales reais — apenas o vetor vazio).
Escrevendo explicitamente:
  • O objetivo dual é b^{T}y. Como b é vetor vazio, b^{T}y é a soma vazia, que vale 0.
  • As restrições A^{T}y \le c tornam-se 0 \le c (produto de matriz 2\times 0 por vetor 0-dimensional dá o vetor nulo de dimensão 2). Como c=(3,4), as desigualdades 0 \le 3 e 0 \le 4 são satisfeitas.
  • A condição y\ge 0 é trivial para o vetor vazio.
Portanto o dual é viável (existe a solução “vetor vazio”) e seu valor objetivo é 0.

Passo 4

Relacionando primal e dual:
  • Encontramos que o primal tem solução ótima com valor 0.
  • Encontramos que o dual é viável e seu valor objetivo (para a única “solução” possível) é 0.
    Pela desigualdade fraca da dualidade (e aqui pela coincidência dos valores), ambos têm valor ótimo igual a 0. Logo o dual possui solução ótima e o valor ótimo é 0.

Passo 5

Eliminação rápida das alternativas:
  • A e B (valores ótimos -\infty ou +\infty) são falsas porque mostramos que o dual tem valor finito igual a 0.
  • C (dual inviável) é falsa porque exibimos que as restrições do dual são satisfeitas.
  • D (dual possui solução ótima com valor igual a zero) é exatamente o que concluímos.
  • E (valor diferente de zero) é falsa pois o valor ótimo do dual é 0.

Resposta

D.

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